复系数多项式向量空间的子空间、维度及直和相关问题问询

嘿，咱们来一步步搞定这个复多项式向量空间的问题，拆解成两个部分来分析：

a) 子空间验证与维度计算 #

首先明确：向量空间( E )是所有次数严格小于( n )（( n>2 )）的复系数多项式构成的空间，它的标准基是( {1, x, x^2, \dots, x^{n-1}} )，所以( \dim E = n )。

1. 集合( F_1 )（以( x_1 )为根的多项式）是子空间，维度为( n-1 ) #

• 子空间证明：
  • 零多项式显然以( x_1 )为根，所以( 0 \in F_1 )；
  • 对任意( p(x), q(x) \in F_1 )，有( p(x_1)=0 )，( q(x_1)=0 )，则( (p+q)(x_1)=p(x_1)+q(x_1)=0 )，故( p+q \in F_1 )；
  • 对任意( k \in \mathbb{C} )，( p(x) \in F_1 )，有( (kp)(x_1)=k \cdot p(x_1)=0 )，故( kp \in F_1 )。
    满足子空间的三个条件，所以( F_1 )是( E )的子空间。
• 维度计算：
  任何( p(x) \in F_1 )都可以写成( p(x)=(x-x_1)g(x) )，其中( g(x) )是次数严格小于( n-1 )的复多项式。而次数小于( n-1 )的多项式空间维度是( n-1 )，因此( \dim F_1 = n-1 )。

2. 集合( F_2 )（以( x_2 )为根的多项式）是子空间，维度为( n-1 ) #

和( F_1 )的证明完全对称：

• 子空间验证的三个条件同样成立，所以( F_2 )是子空间；
• 同理，任何( p(x) \in F_2 )可表示为( (x-x_2)h(x) )，( h(x) )次数小于( n-1 )，故( \dim F_2 = n-1 )。

3. 集合( F )（同时以( x_1, x_2 )为根的多项式）是子空间，维度为( n-2 ) #

• 子空间证明：
  • 零多项式属于( F )；
  • 若( p(x), q(x) \in F )，则( (p+q)(x_1)=0 )，( (p+q)(x_2)=0 )，故( p+q \in F )；
  • 若( k \in \mathbb{C} )，( p(x) \in F )，则( (kp)(x_1)=0 )，( (kp)(x_2)=0 )，故( kp \in F )。
    因此( F )是( E )的子空间。
• 维度计算：
  因为( x_1 \neq x_2 )，所以( p(x) \in F )当且仅当( p(x)=(x-x_1)(x-x_2)k(x) )，其中( k(x) )是次数严格小于( n-2 )的复多项式。次数小于( n-2 )的多项式空间维度是( n-2 )，故( \dim F = n-2 )。

b) 直和证明（补充完整原题缺失部分） #

原题中“E是F₁与……的直和”可能存在输入遗漏，结合a)的结论，最合理的是证明**( E )是( F_1 )与某个一维子空间的直和**，比如取( G = \text{span}{1} )（即所有常数多项式构成的子空间）：

证明过程： #

1. 先证( E = F_1 + G )：
   对任意( p(x) \in E )，令( p(x) = \left[ p(x) - p(x_1) \right] + p(x_1) \cdot 1 )。

   • 其中( p(x) - p(x_1) )代入( x_1 )得( p(x_1)-p(x_1)=0 )，所以属于( F_1 )；
   • ( p(x_1) \cdot 1 )是常数多项式，属于( G )。
     因此任意( p(x) )都可以表示为( F_1 )中元素与( G )中元素的和，即( E = F_1 + G )。

2. 再证( F_1 \cap G = {0} )：
   假设存在非零常数多项式( k \in F_1 \cap G )，则( k(x_1)=k=0 )，矛盾。因此交集中只有零多项式。

结合以上两点，( E = F_1 \oplus G )，即( E )是( F_1 )与( G )的直和。

另外，如果原题想证明的是( E = F_1 + F_2 )，我们也可以验证：
因为( \dim(F_1 + F_2) = \dim F_1 + \dim F_2 - \dim(F_1 \cap F_2) = (n-1)+(n-1)-(n-2)=n = \dim E )，所以( F_1 + F_2 = E )，但这不是直和，因为( F_1 \cap F_2 = F \neq {0} )。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Matfi