证明：若环R无零因子且I为其理想，则R/(l(I)∩r(I))也无零因子

问题回顾 #

已知 (I) 是环 (R) 的理想，定义：

• 左零化子 (l(X):={r∈R \mid rx=0, \forall x∈X})
• 右零化子 (r(X):={r∈R \mid xr=0, \forall x∈X})

我们需要证明：如果 (R) 是无零因子环（即不存在非零元素 (a,b) 使得 (ab=0)），那么商环 (R/(l(I)∩r(I))) 同样不含非零因子。

你的尝试梳理 #

你已经走对了第一步：先明确 (J = l(I)∩r(I))，然后想到用反证法——假设商环里有非零因子，也就是存在 (a+J≠J)、(b+J≠J)（即 (a∉J)、(b∉J)），但 ((a+J)(b+J)=J)，也就是 (ab∈J)。接下来的关键就是从这个条件出发，结合 (R) 无零因子的性质推导出矛盾。

完整证明过程 #

我来把这个推导过程补全，一步步拆解：

1. 反证法假设：设 (J = l(I)∩r(I))，假设 (R/J) 存在非零因子，即存在 (a,b∈R)，满足：

   • (a∉J)，(b∉J)
   • (ab∈J)（因为 ((a+J)(b+J)=ab+J=J)）

2. 分析 (a∉J) 的含义：(a∉J) 意味着 (a) 至少不在 (l(I)) 或 (r(I)) 中的一个里，分两种情况讨论：

情况1：(a∉l(I))

• 由左零化子的定义，存在某个 (x∈I)，使得 (ax≠0)（否则 (a) 就属于 (l(I)) 了）。
• 因为 (ab∈J⊆r(I))，根据右零化子的定义，对所有 (y∈I)，都有 (y(ab)=0)。把 (y=x) 代入，得到 ((xa)b=0)。
• 因为 (R) 无零因子，((xa)b=0) 意味着要么 (xa=0)，要么 (b=0)：
  • 如果 (b=0)，那 (b) 显然属于 (J)（因为0和任何元素相乘都是0，满足零化子的定义），这和 (b∉J) 矛盾。
  • 如果 (xa=0)，我们继续推导：
    • 因为 (ab∈J⊆l(I))，所以对所有 (z∈I)，((ab)z=0)，即 (a(bz)=0)。(R) 无零因子且 (a≠0)（否则 (a∈J)），所以 (bz=0) 对所有 (z∈I)，这说明 (b∈l(I))。
    • 又因为 (xa=0)，且 (I) 是理想，对任意 (y∈I)，(yx∈I)，所以 ((yx)a=0)，这意味着所有 (I) 中的元素右乘 (a) 都是0，即 (a∈r(I))。
    • 现在 (a∈r(I))，但 (a∉J)，所以 (a∉l(I))；同时 (b∈l(I))，但 (b∉J)，所以 (b∉r(I))——也就是说存在某个 (w∈I)，使得 (bw≠0)。
    • 再看 (ab∈l(I))，所以 ((ab)w=0)，即 (a(bw)=0)。(R) 无零因子，(bw≠0) 就意味着 (a=0)，这和 (a∉J) 矛盾！

情况2：(a∉r(I))

• 由右零化子的定义，存在某个 (x∈I)，使得 (xa≠0)。
• 因为 (ab∈J⊆l(I))，所以对所有 (z∈I)，((ab)z=0)，代入 (z=x) 得 (a(bx)=0)。
• (R) 无零因子，所以要么 (a=0)（矛盾，因为 (a∉J)），要么 (bx=0)：
  • 如果 (bx=0)，对任意 (y∈I)，((bx)y=0)，即 (b(xy)=0)，而 (xy∈I)，所以 (b∈r(I))。
  • 又因为 (ab∈J⊆r(I))，所以 (x(ab)=0)，即 ((xa)b=0)。(xa≠0)，所以 (b=0)，这和 (b∉J) 矛盾！

3. 结论：两种情况都导出了矛盾，说明我们的假设不成立，因此商环 (R/(l(I)∩r(I))) 不存在非零因子。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Student