求证二元生成自由群的换位子群包含非换位子元素

要解决这个问题，核心思路是避开逐个枚举$\alpha,\beta$的死胡同，转而用群同态的不变量来验证——毕竟自由群里的元素无穷多，直接排除所有可能性根本不现实。下面咱们就用这个方法证明：$\sigma = [a,b]^2 = (aba^{-1}b{-1})^2$就是$[F_2,F_2]$中无法写成单个换位子的元素。

步骤1：构造从$F_2$到$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$的同态 #

我们把自由群的生成元映射到整数特殊线性群里的初等矩阵，定义同态$\phi: F_2 \to \text{SL}(2,\mathbb{Z})$：
$$
\phi(a) = \begin{pmatrix}1 & 1 \ 0 & 1\end{pmatrix}, \quad \phi(b) = \begin{pmatrix}1 & 0 \ 1 & 1\end{pmatrix}
$$
这个映射是良定义的，因为自由群的生成元之间没有关系，我们可以任意指定它们的像。

步骤2：计算目标元素$\sigma$的像 #

先算单个换位子$[a,b] = aba^{-1}b{-1}$的像：
$$
\phi([a,b]) = \phi(a)\phi(b)\phi(a)^{-1}\phi(b){-1} = \begin{pmatrix}1 & 1 \ -1 & 0\end{pmatrix}
$$
那么$\sigma = [a,b]^2$的像就是：
$$
\phi(\sigma) = \begin{pmatrix}1 & 1 \ -1 & 0\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & -1\end{pmatrix}
$$

步骤3：证明$\phi(\sigma)$不是$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$中的换位子 #

假设$\sigma$是某个单个换位子$\alpha\beta\alpha^{-1}\beta{-1}$，那么根据同态的性质，$\phi(\sigma)$也必须是$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$中的换位子。但我们可以通过元素的阶来推翻这个假设：

• 计算$\phi(\sigma)$的阶：$\begin{pmatrix}0 & 1 \ -1 & -1\end{pmatrix}^3 = I$（单位矩阵），所以它的阶是3。
• 而$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$中的换位子要么是平凡元（阶1），要么是阶2的元素，要么是无限阶元素——不存在阶为3的换位子。

这就说明$\phi(\sigma)$不可能是$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$中的换位子，因此$\sigma$本身也不可能是$F_2$中的单个换位子。

补充说明 #

为什么这个方法可行？因为同态保持了“换位子”这个结构：如果$x$是$F_2$中的换位子，那么$\phi(x)$一定是$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$中的换位子。反过来，如果$\phi(x)$不是目标群里的换位子，那$x$肯定也不是原群里的换位子——这就把一个无限群里的问题，转化到了一个结构更清晰的群里解决，完美避开了枚举所有$\alpha,\beta$的麻烦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者open water