求证商空间X为Hausdorff空间且紧的拓扑学问题求助

没问题，我来一步步帮你梳理这个证明，结合你提到的思路来展开：

第一步：证明X是紧空间 #

首先我们可以直观理解这个商空间：等价关系$(x,t) \sim (x+1,t)$其实是把$\mathbb{R} \times [0,1]$的每条竖线“左右粘合”，相当于把$[0,1] \times [0,1]$的左侧边${0} \times [0,1]$和右侧边${1} \times [0,1]$按对应点粘起来，得到的空间就是圆柱面$\mathbb{S}^1 \times [0,1]$（$\mathbb{S}^1$是单位圆）。

从拓扑严谨性来说：

• 考虑子集$K = [0,1] \times [0,1] \subseteq \mathbb{R} \times [0,1]$，它是紧空间（因为闭区间的乘积是紧的，Heine-Borel定理）。
• 商映射$q: \mathbb{R} \times [0,1] \to X$是连续满射，而且每个等价类都与$K$相交：对任意$(x,t) \in \mathbb{R} \times [0,1]$，取$x$的小数部分$x_0 = x - \lfloor x \rfloor \in [0,1]$，则$(x,t) \sim (x_0,t) \in K$，所以$q(K) = X$，即$q$在$K$上的限制是从紧空间$K$到$X$的连续满射。
• 根据拓扑基本性质：连续满射将紧空间映射到紧空间，因此$X$是紧空间。

第二步：证明X是Hausdorff空间 #

你提到的思路非常关键：若商映射是开映射，则商空间是Hausdorff空间当且仅当等价关系的图是原空间乘积的闭子集。我们就按照这个思路来证：

先证商映射$q$是开映射 #

商拓扑的定义是：$V \subseteq X$是开集当且仅当$q^{-1}(V)$是$\mathbb{R} \times [0,1]$中的开集。
任取$\mathbb{R} \times [0,1]$中的开集$U$，我们需要证明$q(U)$是$X$中的开集，即证$q^{-1}(q(U))$是开集。
注意到$q^{-1}(q(U)) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (U + (n, 0))$，这里$U + (n,0)$是把$U$沿$x$轴平移$n$个单位得到的集合。因为开集平移后还是开集，而开集的并集仍是开集，所以$q^{-1}(q(U))$是开集，因此$q(U)$是开集，即$q$是开映射。

再证等价关系的图是闭子集 #

等价关系$\sim$的图$G$定义为：
$$G = { ((x,t), (x',t')) \in (\mathbb{R} \times [0,1])^2 \mid (x,t) \sim (x',t') }$$
也就是$G = { ((x,t), (x+n,t)) \mid x \in \mathbb{R}, t \in [0,1], n \in \mathbb{Z} }$。

要证$G$是闭集，我们用序列收敛的方法：
假设序列${ ((x_k,t_k), (x'_k,t'_k)) } \subseteq G$收敛到$((x,t), (x',t')) \in (\mathbb{R} \times [0,1])^2$。
根据$G$的定义，对每个$k$，存在整数$n_k$使得$x'_k = x_k + n_k$且$t'_k = t_k$。

• 由$t_k \to t$和$t'_k \to t'$，可得$t' = t$。
• 由$x_k \to x$和$x'k \to x'$，可得$x' - x = \lim{k \to \infty} (x'k - x_k) = \lim{k \to \infty} n_k$。整数序列收敛只能是最终为常数，即存在$N$，当$k > N$时$n_k = n$（固定整数），因此$x' = x + n$，即$((x,t), (x',t')) \in G$。

所以$G$是$(\mathbb{R} \times [0,1])^2$中的闭子集。

结合开商映射的性质得Hausdorff性 #

根据你提到的结论：当商映射是开映射时，商空间是Hausdorff空间当且仅当等价关系的图是原空间乘积的闭子集。现在我们已经满足两个条件：$q$是开映射，$G$是闭集，因此$X$是Hausdorff空间。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jasmine