为何有界随机变量X满足Var[X e^λX] ≤ (b-a)²/4？

首先得澄清一个关键点：原问题中的结论其实并不普遍成立，我们先拿一个具体例子来验证：

假设X是取值于[0,1]的两点分布，P(X=0)=P(X=1)=1/2，此时Var[X]=(1-0)²/4=1/4，刚好达到题目给出的上界。现在取λ=1，计算Y=X e^X的方差：

• Y的取值为0和e（≈2.718），概率各1/2
• 均值E[Y]=(0 + e)/2=e/2
• 方差Var[Y]=(1/2)(0 - e/2)² + (1/2)(e - e/2)² = e²/4 ≈1.859
  而(b-a)²/4=1/4=0.25，显然Var[Y]远大于这个值，这说明原问题的结论存在反例。

那可能是问题表述有偏差？如果我们把结论修正为Var[X e^λX] ≤ (max_{x∈[a,b]} f(x) - min_{x∈[a,b]} f(x))²/4（其中f(x)=x e^λx），这个结论是完全成立的，原因如下：

对于任何取值于区间[c,d]的有界随机变量Z，方差的最大可能值出现在Z仅取区间端点c和d，且各以1/2概率取值的两点分布，此时Var[Z]=(d-c)²/4。而Y=X e^λX是X的函数，X∈[a,b]，所以Y的取值必然落在f(x)在[a,b]上的值域[c,d]内，因此根据有界随机变量的方差上界性质，Var[Y]≤(d-c)²/4。

至于f(x)=x e^λx的值域，我们可以通过分析其单调性确定：

• 求导得f’(x)=e^λx(1+λx)，令导数为0得临界点x₀=-1/λ（λ≠0时）
• 若x₀不在[a,b]内，f(x)在[a,b]上单调，值域为[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)]
• 若x₀在[a,b]内，f(x)在[a,x₀]和[x₀,b]上单调性相反，此时值域为[min(f(a),f(x₀),f(b)), max(f(a),f(x₀),f(b))]

不管哪种情况，Y都是有界随机变量，其方差上界由值域区间长度决定。

如果原问题确实是要证明Var[X e^λX] ≤ (b-a)²/4，那只有在特定条件下才成立，比如f(x)的值域区间长度≤b-a，但这并不对任意λ和[a,b]成立，比如前面的例子就不满足。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuki Kawabata