倒数正态分布之和的分布求解：CDF与PDF推导方法问询

嘿，咱们一步步拆解这个问题，看看怎么求出它的累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）：

核心思路：拆解为独立变量的和 #

• 令 $Y_i = \frac{1}{X_i}$（$i=1,2,\cdots,n$），那么 $Y = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n$。
• 先搞定单个 $Y_i$ 的分布，再通过卷积运算就能得到n个独立变量和的分布啦。

单个 $Y_i$ 的分布：倒数正态分布 #

每个 $Y_i$ 服从倒数正态分布（Reciprocal Normal Distribution），这个分布有两个关键特性：

• 它是双峰分布：因为正态分布的取值覆盖正负半轴，取倒数后会在0附近形成两个峰值（分别趋近于正无穷和负无穷）；
• 一阶及更高阶矩不存在：计算期望 $\mathbb{E}[|Y_i|]$ 时，积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|} f_{X_i}(x) dx$ 是发散的（$f_{X_i}(x)$ 是 $X_i$ 的正态PDF）。

倒数正态分布的PDF推导 #

已知 $X_i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)$，它的PDF为：
$$f_{X_i}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i} \exp\left( -\frac{(x - \mu_i)^2}{2\sigma_i2} \right)$$

用随机变量变换方法推导 $Y_i = \frac{1}{X_i}$ 的PDF：

1. 求逆变换：$X_i = \frac{1}{Y_i}$，对 $Y_i$ 求导得 $\frac{dX_i}{dY_i} = -\frac{1}{Y_i^2}$；
2. 代入变量变换的PDF公式（需取导数的绝对值）：
   $$f_{Y_i}(y) = f_{X_i}\left( \frac{1}{y} \right) \cdot \left| \frac{dX_i}{dY_i} \right|$$
3. 展开后得到：
   $$f_{Y_i}(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_i |y|^2} \exp\left( -\frac{\left( \frac{1}{y} - \mu_i \right)^2}{2\sigma_i2} \right), \quad y \neq 0$$

求和变量 $Y$ 的分布 #

因为 $Y_1$ 到 $Y_n$ 是独立的，所以 $Y$ 的PDF可以通过多次卷积得到：

• 先看两个变量的和：$Y_1 + Y_2$ 的PDF是 $f_{Y_1}$ 和 $f_{Y_2}$ 的卷积，公式为：
  $$f_{Y_1+Y_2}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y_1}(t) f_{Y_2}(z - t) dt$$
• 对于n个变量的和，需要重复进行n-1次卷积运算，最终得到 $Y$ 的PDF $f_Y(z)$。

而 $Y$ 的CDF就是PDF从负无穷到z的积分：
$$F_Y(z) = \int_{-\infty}^z f_Y(t) dt$$

实用提示 #

• 由于倒数正态分布的矩不存在，$Y$ 的矩也不存在，所以没法用矩生成函数（MGF）推导分布，只能依赖卷积或数值方法；
• 当n较大时，直接计算卷积会非常繁琐，通常用数值积分或者蒙特卡洛模拟来近似得到 $Y$ 的分布。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ztypl