斜面上滑块滑动与倾覆临界点的不合理方程及受力问题

嘿，咱们来仔细拆解这个斜面上滑块的滑动与倾覆临界问题，尤其是其中容易出现的方程不合理的坑点～

设有一滑块静止于倾角为$ heta$的斜面上，沿斜面向下施加推力$F_ ext{push}$，且该推力大小恰好使静摩擦力达到最大值。改变$F_ ext{push}$的作用高度（沿滑块高度方向上下移动施力点）：当施力点靠近滑块顶部时，滑块发生倾覆；当施力点靠近滑块底部时，滑块发生滑动。现探讨该场景下滑动与倾覆临界点的不合理方程相关问题。

1. 先理清两个临界条件的正确推导 #

滑动临界条件 #

当滑块即将滑动时，沿斜面方向的受力达到平衡（此时静摩擦力已经拉满到最大值）：

• 沿斜面方向的受力：重力的分力 $mg\sin heta$（向下）、推力 $F_ ext{push}$（向下）、最大静摩擦力 $f_{max}=\mu_s mg\cos heta$（向上，$\mu_s$为静摩擦系数）
• 平衡方程：

  mg\sin	heta + F_	ext{push} = \mu_s mg\cos	heta
  

  整理后可得此时的推力大小：

  F_	ext{push} = mg(\mu_s \cos	heta - \sin	heta)
  

倾覆临界条件 #

当滑块即将倾覆时，会绕它与斜面接触的底边端点转动，此时该点的支持力和静摩擦力的力矩为零（因为力臂为0），只需考虑重力和推力的力矩平衡：
假设滑块的宽度为$b$（沿斜面底边方向），高度为$h$（垂直斜面方向），施力点距离斜面的垂直高度为$y$（沿垂直斜面方向），重力作用在滑块的几何中心：

• 阻碍倾覆的力矩（重力产生）：$mg\left(\frac{b}{2}\cos heta - \frac{h}{2}\sin heta\right)$
• 促进倾覆的力矩（推力产生）：$F_ ext{push} \cdot y$
• 力矩平衡方程（临界状态）：

  F_	ext{push} \cdot y = \frac{mg}{2}(b\cos	heta - h\sin	heta)
  

2. 临界点方程的常见不合理之处 #

很多人推导时会踩坑，导致方程出现不合理的情况，主要集中在这几个方面：

• 力臂计算错误：忽略斜面倾角的影响，误用水平/竖直方向的力臂替代沿斜面/垂直斜面的分量。比如把推力的力臂当成竖直高度，而不是垂直于推力方向（沿斜面）的垂直高度，直接导致力矩方程完全偏离正确结果。
• 错误引入静摩擦力的力矩：倾覆临界时，静摩擦力的作用点就是倾覆转动的支点，力臂为0，所以静摩擦力不会产生力矩。但不少人会错误地把静摩擦力的力矩加入方程，让整个临界条件变得混乱。
• 联立方程后的特殊值矛盾：把滑动临界的$F_ ext{push}$代入倾覆方程，得到临界施力高度：

  y = \frac{b\cos	heta - h\sin	heta}{2(\mu_s \cos	heta - \sin	heta)}
  

  这里会出现两种不合理的特殊情况：
  • 当分母为0时，$\mu_s \cos heta = \sin heta$（即$\mu_s = \tan heta$），此时滑动临界的$F_ ext{push}=0$，说明滑块原本就处于滑动临界状态，施加任何向下的推力都会直接滑动，倾覆临界条件失去意义。
  • 当分子为0时，$b\cos heta = h\sin heta$（即$\frac{b}{h} = \tan heta$），此时倾覆临界的$F_ ext{push}=0$，说明滑块原本就处于倾覆临界，只要施加推力就会倾覆，滑动临界条件不再适用。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jdphys