一维紧束缚模型的能带数量及色散关系绘制方法咨询

嘿，我来帮你梳理这两个关于一维紧束缚哈密顿量的问题：

你研究的是每个原子仅含一个量子态的单轨道紧束缚模型，这类模型里每个原胞只包含1个原子轨道。根据能带理论的核心结论：原胞内独立量子态的数量，就等于系统能带的数量。所以这个一维紧束缚模型的能带数量是1条。

举个额外的例子：如果每个原子有2个独立量子态（比如同时考虑s和p轨道），那原胞内的轨道数变成2，能带数量也会对应变成2条。

你给出的色散关系是 $E(k)=E_0-2t\cos(ka)$，首先要明确波矢$k$的取值范围是第一布里渊区，即 $k \in [-\frac{\pi}{a}, \frac{\pi}{a}]$（也可以用 $[0, \frac{2\pi}{a}]$，但对称区间的图像更直观）。

下面用Python的numpy和matplotlib库来实现绘制，步骤和代码都很清晰：

绘制步骤： #

• 先设定参数值：可以先简化参数（比如令$E_0=0$，$t=1$，$a=1$），后续再根据需求调整；
• 生成第一布里渊区内足够多的$k$点，保证曲线平滑；
• 代入公式计算每个$k$对应的能量$E(k)$；
• 绘制曲线并添加必要的标注。

代码示例： #

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 自定义参数（可根据需求修改）
E0 = 0  # 格点能
t = 1   # 跃迁参数
a = 1   # 晶格常数

# 生成第一布里渊区的k值，取1000个点保证曲线平滑
k = np.linspace(-np.pi/a, np.pi/a, 1000)

# 计算每个k对应的能量
E_k = E0 - 2 * t * np.cos(k * a)

# 绘制色散曲线
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(k, E_k, color='navy', linewidth=2)
plt.xlabel('波矢 k (单位：1/a)')
plt.ylabel('能量 E(k)')
plt.title('一维单轨道紧束缚模型的电子色散关系')
plt.axhline(y=E0, color='gray', linestyle='--', label='格点能 $E_0$')
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

额外说明： #

• 当你增大$t$时，能带的宽度（从$E_0-2t$到$E_0+2t$）会变宽，因为跃迁作用更强；
• 修改$E_0$只会让整个能带上下平移，不改变能带的形状；
• 如果想画$k \in [0, 2\pi/a]$的区间，只需要把linspace的起始和结束值改成0和2*np.pi/a即可。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SRS