请求求解到达时间概率谜题：均匀分布下停留时长问题

嘿，咱们一步步拆解这个概率谜题~先根据你给出的例子补全问题（这是均匀分布类谜题里很典型的一种）：

访客在周一00:00到24:00之间均匀随机到达，到达时刻记为 ( t )（单位：小时，( 0 \leq t \leq 24 )），停留时长由到达时间决定：00:00到达时停留0小时（仅打招呼）；01:30到达时，停留至周一结束（也就是22.5小时）。更通用的表述是：停留时长 ( S(t) = 24 - t )（即从到达时刻一直停留到周一结束）。我们来解决两个核心问题：停留时长的期望值，以及停留期间覆盖周一12:00的概率。

一、停留时长的期望计算 #

首先，到达时刻 ( t ) 服从[0,24]上的均匀分布，它的概率密度函数是 ( f(t) = \frac{1}{24} )（每个时刻到达的概率密度相等）。

根据连续型随机变量函数的期望公式，停留时长的期望是所有可能的停留时长按到达概率加权后的平均值：
[ E[S(t)] = \int_{0}^{24} S(t) \cdot f(t) dt ]

把 ( S(t) = 24 - t ) 和 ( f(t) = \frac{1}{24} ) 代入公式，计算积分：
[
\begin{align*}
E[S(t)] &= \frac{1}{24} \int_{0}^{24} (24 - t) dt \
&= \frac{1}{24} \left[ 24t - \frac{1}{2}t^2 \right]_{0}^{24} \
&= \frac{1}{24} \times (24 \times 24 - \frac{1}{2} \times 24^2) \
&= \frac{1}{24} \times (576 - 288) \
&= 12 \text{小时}
\end{align*}
]

这个结果很符合直觉：访客的平均到达时间是周一12:00，平均停留时长自然就是从12:00到24:00的12小时。

二、停留期间覆盖12:00的概率计算 #

要让停留覆盖12:00，逻辑其实很简单：

• 如果访客在12:00或之前到达（( t \leq 12 )），他们的停留会从 ( t ) 持续到24:00，必然包含12:00；
• 如果访客在12:00之后到达（( t > 12 )），他们的停留从 ( t ) 开始，已经晚于12:00，不可能覆盖这个时刻。

因为到达时刻是均匀分布的，所以满足 ( t \leq 12 ) 的概率就是区间长度的比值：
[ P(\text{覆盖12:00}) = \frac{12 - 0}{24 - 0} = 0.5 ]

延伸：如果停留时长是另一种定义（比如 ( S(t) = t )） #

如果题目里的停留时长是“到达时刻的小时数”（比如00:00到停留0，01:30到停留1.5小时），那解法会略有不同：

• 期望计算：
  [ E[S(t)] = \frac{1}{24} \int_{0}^{24} t dt = \frac{1}{24} \times \frac{1}{2} \times 24^2 = 12 \text{小时} ]
  同样是12小时，是不是很巧？
• 覆盖12:00的概率：
  需要满足 ( t \leq 12 \leq t + t )，也就是 ( 6 \leq t \leq 12 )。这个区间长度是6，所以概率是 ( \frac{6}{24} = 0.25 )。

总结 #

这类谜题的核心是抓住均匀分布的概率密度特性——概率等于区间长度的比值，期望则通过积分加权计算。只要明确停留时长的函数定义，就能快速推导结果。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Patch