含单位元交换环中a¹⁵、b¹⁶、c¹⁷线性组合等于1的证明求助

这个问题其实可以利用交换环里单位理想的性质，通过展开幂次来构造出需要的系数，我来一步步给你理清楚：

首先，回顾已知条件：在含单位元的交换环( R )中，存在( x,y,z \in R )使得( xa + yb + zc = 1 )。我们的目标是找到( \alpha,\beta,\gamma \in R )，满足( \alpha a^{15} + \beta b^{16} + \gamma c^{17} = 1 )。

核心思路：利用1的幂次展开 #

因为( 1 = xa + yb + zc )，所以对于任意正整数( N )，都有( 1 = (xa + yb + zc)^N )。我们选一个足够大的( N )，比如( N = 15 + 16 + 17 = 48 )（这个数的选择是为了保证展开后的每一项必然属于( a^{15}R )、( b^{16}R )或( c^{17}R )中的某一个）。

展开并分析每一项 #

根据交换环中的多项式展开（多元二项式定理），( (xa + yb + zc)^{48} )可以展开为所有形如：
C(48, k,l,m) · x^k y^l z^m · a^k b^l c^m
的项的和，其中( k,l,m )是非负整数且满足( k + l + m = 48 )，( C(48,k,l,m) )是多元组合数（在含单位元的交换环中，整数系数可以通过单位元的倍数表示，比如( C(n,k) )对应( n!/(k!(n-k)!) )倍的单位元）。

接下来逐个分析这些项的归属：

• 若( k \geq 15 )：该项可改写为( a^{15} · [C(48,k,l,m) x^k y^l z^m a^{k-15} b^l c^m] )，显然属于由( a^{15} )生成的理想( a^{15}R )；
• 若( k < 15 )且( l \geq 16 )：该项可改写为( b^{16} · [C(48,k,l,m) x^k y^l z^m a^k b^{l-16} c^m] )，属于由( b^{16} )生成的理想( b^{16}R )；
• 若( k < 15 )且( l < 16 )：此时( k \leq 14 )，( l \leq 15 )，那么( m = 48 - k - l \geq 48 -14 -15 = 19 \geq 17 )，该项可改写为( c^{17} · [C(48,k,l,m) x^k y^l z^m a^k b^l c^{m-17}] )，属于由( c^{17} )生成的理想( c^{17}R )。

合并得到结论 #

把所有属于( a^{15}R )的项相加，结果就是( \alpha a^{15} )（其中( \alpha )是这些项中( a^{15} )的系数之和）；属于( b^{16}R )的项相加得到( \beta b^{16} )；属于( c^{17}R )的项相加得到( \gamma c^{17} )。由于这些项的总和是1，因此：
[ \alpha a^{15} + \beta b^{16} + \gamma c^{17} = 1 ]

另外你之前尝试的( a=b=c=1 )的特殊情况，其实不用取( 1/3 )，直接取( \alpha=1 )、( \beta=0 )、( \gamma=0 )（或任意和为1的组合）即可，因为( 1^{15}=1 )，这样直接满足等式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user396850