求解Hatcher拓扑题：不使用Van Kampen定理证S¹∨S²基本群为ℤ

首先明确楔和$S^1 \vee S^{2$的定义：取$S}1$的基点$x_0$和$S^2$的基点$x_0$，将这两个点粘在一起得到的空间，基点仍为$x_0$。我们可以通过收缩映射+环路同伦分析来完成证明，步骤如下：

1. 构造诱导同态 #

定义连续映射$f: S^1 \vee S^2 \to S^1$：

• 对$S^1$中的点，$f(p)=p$（恒等映射）；
• 对$S^{2$中的点，$f(p)=x_0$（把整个$S}2$收缩到基点）。

这个映射是连续的：在$S^1 \setminus {x_0}$上，$f$是恒等连续；在$S^2 \setminus {x_0}$上，$f$是常值连续；在公共点$x_0$处，两边的像都是$x_0$，满足连续性条件。

根据基本群的函子性，$f$诱导出基本群的同态：
$$f_: \pi_1(S^1 \vee S^2, x_0) \to \pi_1(S^1, x_0)$$
我们知道$\pi_1(S^1, x_0) \cong \mathbb{Z}$，接下来只需证明$f_$是同构。

2. 证明$f_*$是满射 #

任取$\mathbb{Z}$中的元素$[n]$（对应$S^{1$中绕$n$圈的环路类），考虑$S}1$中的环路$\alpha_n: I \to S^{1$，它是绕$S}1$转$n$圈的标准环路。将$\alpha_n$视为$S^1 \vee S^{2$中的环路（其像完全在$S}1$部分），则$f \circ \alpha_n = \alpha_n$，因此$f_([\alpha_n]) = [\alpha_n] = [n]$。这说明$\mathbb{Z}$中的每个元素都在$f_$的像中，即$f_*$是满射。

3. 证明$f_*$是单射 #

假设$[\alpha] \in \pi_1(S^1 \vee S^2, x_0)$满足$f_*([\alpha]) = 0$，即$f \circ \alpha$是$S^1$中的零伦环路。我们需要证明$[\alpha] = 0$（即$\alpha$同伦于常环路）。

首先分析$\alpha$的结构：由于$S^1 \vee S^2$中$S1$和$S^2$仅在$x_0$相交，$\alpha: I \to S^1 \vee S^{2$作为连续道路，其进入/离开$S}2$部分时必须经过$x_0$。因此$\alpha$可以分解为有限个交替的片段：

• $S^1$中的道路片段（起点和终点都是$x_0$）；
• $S^{2$中的道路片段（起点和终点都是$x_0$，即$S}2$中的环路）。

注意到$S^{2$是单连通的，任何$S}2$中的基于$x_0$的环路都是零伦的——也就是说，每个$S^{2$中的片段都可以同伦到常环路$x_0$。我们可以逐个将这些$S}2$片段替换为常环路，得到一个同伦于$\alpha$的环路$\alpha'$，其像完全在$S^1$中。

此时$f \circ \alpha = \alpha'$，而$f_([\alpha])=0$意味着$\alpha'$是$S^1$中的零伦环路，即$\alpha'$同伦于常环路$x_0$。因此$\alpha$同伦于$\alpha'$，进而同伦于常环路，即$[\alpha]=0$。这说明$f_$的核只有单位元，是单射。

结论 #

因为$f_*$是满射且单射，所以它是同构，因此$\pi_1(S^1 \vee S^2, x_0) \cong \mathbb{Z}$。

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