Hartshorne习题：ℙ³中次数a,b完全交X不落在次数<min(a,b)曲面的疑问

咱们直接顺着你给的条件往下推就行，核心思路是通过Koszul复形和上同调正合序列，证明当$m < \min(a,b)$时，$H^0(\mathscr{I}_X(m)) = 0$，从而导出矛盾。

第一步：回忆完全交的理想层Koszul复形 #

因为X是$\mathbb{P}^3$中a次曲面$F=0$和b次曲面$G=0$的完全交，所以X的理想层$\mathscr{I}X$由$F$和$G$生成，对应的Koszul复形是：
$$0 \to \mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(-a-b) \to \mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(-a) \oplus \mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(-b) \to \mathscr{I}_X \to 0$$

把这个复形扭$m$次（$m < \min(a,b)$），得到：
$$0 \to \mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(m - a - b) \to \mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(m - a) \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(m - b) \to \mathscr{I}_X(m) \to 0$$

第二步：分析扭后复形的全局截面正合序列 #

对上面的复形取全局截面（即$H^0$函子），得到长正合序列：
$$0 \to H^{0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - a - b)) \to H^{0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - a)) \oplus H^{0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - b)) \to H^0(\mathscr{I}_X(m)) \to H^{1(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - a - b)) \to \dots$$

现在逐个拆解这些项：

• 因为$m < \min(a,b)$，所以$m - a < 0$，$m - b < 0$，而$\mathbb{P}^{3$中负次数扭转结构层的全局截面全为0，即$H}0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(m - a)) = H^{0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - b)) = 0$；
• 同理$m - a - b < 0$，所以$H^{0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}}3}(m - a - b)) = 0$；
• 对于$\mathbb{P}^{3$的上同调，$H}1(\mathcal{O}{\mathbb{P}^3}(k)) = 0$对所有整数$k$（这是Serre定理的结论：$\mathbb{P}^{n$中中间维数的上同调$H}i(\mathcal{O}{\mathbb{P}^n}(k))$当$0 < i < n$时全为0）。

把这些代入正合序列，直接得出：
$$H^0(\mathscr{I}_X(m)) = 0$$

第三步：导出矛盾 #

假设X包含于某个次数$k < \min(a,b)$的曲面$Y$，那么$Y$的定义多项式$f$是$H^{0(\mathscr{I}_X(k))$中的一个非零元素（因为$f$在X上处处为0，属于X的理想层的全局截面）。但我们刚才证明了$H}0(\mathscr{I}_X(k)) = 0$，这就产生了矛盾。

因此，X不可能包含于任何次数小于$\min(a,b)$的曲面。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者finiteness