关于多元链式法则下$D^2(F\circ\varphi)_t$计算错误的技术问询

咱们先把链式法则的符号逻辑理清楚，再一步步拆解你推导里的问题：

1. 一阶导数的核心符号错误 #

你写的一阶导数 $D(F\circ\varphi)(t)=(DF)_{\varphi(t)}\cdot(DF)_t$ 完全混淆了求导对象：$\varphi$ 是从 $\mathbb{R}$ 到 $\mathbb{R}^n$ 的函数，它的导数是 $D\varphi(t) = \varphi'(t)$（一个 $\mathbb{R}^n$ 中的列向量），而不是 $(DF)_t$——$(DF)$ 是函数 $F$ 的导数，和 $\varphi$ 的导数没有关系。

正确的一阶导数应该是：
$$D(F\circ\varphi)(t) = DF(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)$$
这里的 $\cdot$ 表示行向量与列向量的点积（$DF(\varphi(t))$ 是 $F$ 在 $\varphi(t)$ 处的梯度，是行向量；$\varphi'(t)$ 是 $\varphi$ 的导数，是列向量），结果为标量。

2. 二阶导数推导的符号混乱与逻辑错误 #

你对二阶导数的展开式 $D(D(F\circ\varphi)(t))=D(DF)_{\varphi(t)}\cdot(DF)t+(DF){\varphi(t)}\cdot D(DF)_t$ 存在两处关键错误：

• 乘积法则的应用对象错误：一阶导数是 $DF(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)$，求导时应该针对这个“梯度与φ导数的点积”来用乘积法则，正确的展开形式是：
  $$\frac{d}{dt}\left[ DF(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \right] = \frac{d}{dt}\left[ DF(\varphi(t)) \right] \cdot \varphi'(t) + DF(\varphi(t)) \cdot \frac{d}{dt}\left[ \varphi'(t) \right]$$
• 符号误用：$\frac{d}{dt}\left[ DF(\varphi(t)) \right]$ 是对 $DF \circ \varphi$ 求导，根据链式法则，它应该是 $D(DF)(\varphi(t)) \circ D\varphi(t)$，也就是 $D^2F(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t)$（$D^2F(\varphi(t))$ 是 $F$ 在 $\varphi(t)$ 处的Hessian矩阵，乘以 $\varphi'(t)$ 列向量后得到行向量）；而 $\frac{d}{dt}\left[ \varphi'(t) \right]$ 是 $\varphi$ 的二阶导数 $\varphi''(t)$，不是你写的 $D(DF)_t$（这个符号完全没有意义，因为 $DF$ 是 $F$ 的导数，和 $t$ 无直接关联）。

3. 后续推导的符号误用 #

你写的 $(D^2F){\varphi(t)}\circ (DF){\varphi'(t)}\cdot (DF)t$ 里，$(DF){\varphi'(t)}$ 是错误的符号——$DF$ 是作用在 $\mathbb{R}^n$ 中的点上的，$\varphi'(t)$ 是向量，不是需要求梯度的点，正确的应该是直接用 $\varphi'(t)$ 参与运算；最后一项 $(DF)_{\varphi(t)}\cdot (D^2F)_t$ 里的 $(D^2F)_t$ 也是错误的，应该替换为 $\varphi''(t)$。

正确的二阶导数推导 #

整理一下，正确的二阶导数推导过程是：
$$
\begin{align*}
D^2(F\circ\varphi)(t) &= \frac{d}{dt}\left[ DF(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \right] \
&= \left( D^2F(\varphi(t)) \cdot \varphi'(t) \right) \cdot \varphi'(t) + DF(\varphi(t)) \cdot \varphi''(t) \
&= \varphi'(t)^T D^2F(\varphi(t)) \varphi'(t) + DF(\varphi(t)) \cdot \varphi''(t)
\end{align*}
$$
第一项是Hessian矩阵与 $\varphi'(t)$ 构成的二次型，第二项是梯度与 $\varphi''(t)$ 的点积。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tom Chalmer