已知$a>0$且$0<\theta<\pi/2$，将$x=a\sec\theta$代入$\sqrt{x^2-a^2}$求$\sin\theta$、$\cos\theta$

没问题，我来一步步帮你拆解这个问题～

已知x = a secθ，且a>0、0<θ<π/2（这个区间里所有三角函数值都是正数，化简时不用纠结正负号）。

把x代入根号表达式：

√(x² - a²) = √[(a secθ)² - a²]

先提取公因式$a^2$：

= √[a²(sec²θ - 1)]

因为a>0，$\sqrt{a^2}=a$，直接提出来：

= a √(sec²θ - 1)

再用三角函数恒等式sec²θ - 1 = tan²θ，代入后：

= a √(tan²θ)

由于0<θ<π/2，tanθ是正数，所以$\sqrt{tan²θ}=tanθ$，最终化简结果为：

= a tanθ

回忆正割函数的定义：secθ = 1/cosθ，已知x = a secθ，可以变形得到：

secθ = x/a

两边取倒数就能得到$\cosθ$：

cosθ = a/x

这里有两种简单的方法：

• 方法一：利用平方关系
  根据三角函数的平方恒等式sin²θ + cos²θ = 1，把$\cosθ=a/x$代入：

sin²θ = 1 - (a/x)² = (x² - a²)/x²

因为0<θ<π/2，sinθ是正数，开根号后：

sinθ = √(x² - a²)/x

• 方法二：利用正切与正弦、余弦的关系
  刚才我们得到$\sqrt{x^2-a2}=a tanθ$，也就是tanθ = √(x²-a²)/a，而tanθ = sinθ/cosθ，把$\cosθ=a/x$代入：

sinθ = tanθ * cosθ = (√(x²-a²)/a) * (a/x) = √(x²-a²)/x

两种方法得到的结果完全一致，验证了答案的正确性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Bill