主理想的收缩未必是主理想：Dedekind整环扩张相关实例问询

当然存在满足条件的Dedekind整环有限扩张，下面给你一个具体的经典案例：

构造例子 #

• 设 R = ℤ[√10]：它是数域ℚ(√10)的整数环，因此是Dedekind整环。同时它不是主理想整环，比如理想 (2, √10) 就是非主理想（验证见下文）。
• 设 S = ℤ[√2, √5]：这是数域ℚ(√2, √5)的整数环，而ℚ(√2, √5)是ℚ(√10)的有限扩张（因为√10 = √2·√5），因此S是R的有限扩张，且S本身也是Dedekind整环。

验证主理想的收缩非主理想 #

取S中的主理想 I = (√2)，计算它在R中的收缩I∩R：

1. I中的元素可表示为 √2·(a + b√2 + c√5 + d√10)（其中a,b,c,d∈ℤ），展开后得到：

   a√2 + 2b + c√10 + 2d√5

2. 这个元素属于R=ℤ[√10]当且仅当√2和√5的系数为0，即a=0、d=0。此时元素简化为 2b + c√10（b,c∈ℤ），也就是R中的理想 (2, √10)。
3. 验证(2, √10)是非主理想：
   假设它是主理想 (m + n√10)（m,n∈ℤ），那么其范数 N(m + n√10) = m² - 10n² 必须等于理想的范数±2。但模10来看，m²的可能取值为0,1,4,5,6,9，10n²≡0 mod10，因此m² -10n²不可能等于±2，矛盾。所以(2, √10)确实是非主理想。

结合局部化性质的补充说明 #

你提到的“对R中任意素理想p，局部化R_p是离散赋值环（DVR）”是Dedekind整环的核心性质。在这个例子中：

• 对于素理想p=(2,√10)，(I∩R)_p = pR_p 是R_p中的主理想（因为DVR的所有理想都是主理想）；
• 对于其他素理想q≠p，(I∩R)_q = R_q 也是主理想。
  这说明局部主的理想在整体Dedekind整环中未必是主理想，这正是这个例子成立的关键原因。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alphonse