证明映射Φ:ℙ₃→ℙ₁×ℝ×ℝ为双射的技术问题

咱们一步步把这个双射的证明捋明白，先从你已经开始的单射部分接着往下走，再补上满射的证明：

一、证明Φ是单射 #

首先，任取ℙ₃中的两个多项式：

• ( p_1(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d )（( a,b,c,d \in \mathbb{R} )）
• ( p_2(x) = ex^3 + fx^2 + gx + h )（( e,f,g,h \in \mathbb{R} )）

假设( \Phi(p_1) = \Phi(p_2) )，根据映射定义，这意味着三个条件同时成立：

1. ( p_1''(x) = p_2''(x) )
2. ( p_1'(0) = p_2'(0) )
3. ( p_1(0) = p_2(0) )

先处理二阶导数相等的条件：
计算得( p_1''(x) = 6ax + 2b )，( p_2''(x) = 6ex + 2f )。因为两个一次多项式相等当且仅当对应系数完全相同，所以：

• 一次项系数：( 6a = 6e \implies a = e )
• 常数项：( 2b = 2f \implies b = f )

接下来用导数在0点的条件：
( p_1'(x) = 3ax^2 + 2bx + c )，代入( x=0 )得( p_1'(0) = c )；同理( p_2'(0) = g )。由( p_1'(0) = p_2'(0) )直接得出( c = g )。

最后用函数在0点的条件：
( p_1(0) = d )，( p_2(0) = h )，所以( d = h )。

到这里，( p_1 )和( p_2 )的所有系数都一一相等，说明( p_1 = p_2 )。这就证明了Φ是单射（不同的原像不会映射到同一个像）。

二、证明Φ是满射 #

要证明满射，就得说明：对于ℙ₁×ℝ×ℝ中的任意一个元素( (q(x), r, s) )，都能找到ℙ₃中的多项式( p(x) )，使得( \Phi(p) = (q(x), r, s) )。

先设( q(x) = mx + n )（( m,n \in \mathbb{R} )，因为ℙ₁是一次多项式空间），再设( p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d )，根据Φ的定义列方程：

1. ( p''(x) = q(x) )：即( 6ax + 2b = mx + n )，解这个方程可得：
   • ( a = \frac{m}{6} )
   • ( b = \frac{n}{2} )
2. ( p'(0) = r )：对( p(x) )求导得( p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c )，代入( x=0 )得( c = r )
3. ( p(0) = s )：代入( x=0 )得( d = s )

把这些系数代入( p(x) )，得到：
( p(x) = \frac{m}{6}x^3 + \frac{n}{2}x^2 + rx + s )

咱们验证一下这个多项式是否满足要求：

• ( p''(x) = 6 \times \frac{m}{6}x + 2 \times \frac{n}{2} = mx + n = q(x) )
• ( p'(0) = r )
• ( p(0) = s )

完全符合( \Phi(p) = (q(x), r, s) )的条件，说明任意目标元素都存在对应的原像，Φ是满射。

结论 #

因为Φ同时满足单射和满射的定义，所以Φ是双射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Brandon O'Neil