复域上多项式绘图：k重根附近图像相似性的原理解释请求

这其实是复分析里关于多项式根附近局部行为的一个经典结论，我来一步步给你拆解清楚：

• 展开式的由来：
  当多项式$f$在点$z_0$处有$k$重根时，意味着$f(z_0)=f'(z_0)=\dots=f^{{(k-1)}(z_0)=0$，而$k$阶导数$f}{(k)}(z_0)\neq0$。根据泰勒展开定理（多项式在复平面上全解析，泰勒展开就是它本身的幂级数形式），$f(z)$在$z_0$附近可以展开为：
  $$f(z) = c(z - z_0)^k + (\text{higher degree terms})$$
  这里的$c=\frac{f^{(k)}(z_0)}{k!}\neq0$，而“higher degree terms”指的是$(z-z_0)^{{k+1}$及更高次的项，比如$d(z-z_0)}{k+1}+e(z-z_0)^{k+2}+\dots$。

• 首项主导的原因：
  当$z$非常靠近$z_0$时，令$r=|z-z_0|$，这是一个很小的正数。此时更高次项的模长可以表示为：
  $$|d(z-z_0)^{{k+1}+e(z-z_0)}{k+2}+\dots| = r^k\left(|d|r + |e|r^2 + \dots\right)$$
  而首项的模长是$|c|r^k$。因为$r$足够小，括号里的和$|d|r + |e|r^2 + \dots$会远小于$|c|$（可以任意小），所以更高次项的影响完全被首项覆盖，近似有$f(z)\approx c(z-z_0)^k$。

• 图像相似的本质：
  做变量替换$w=z-z_0$，那么$z$在$z_0$附近等价于$w$在$0$附近。此时$f(z)$的局部行为就近似于$g(w)=c w^k$在$w=0$附近的行为：

  • 从映射角度看，两者都是把靠近原点（$w=0$对应$z=z_0$）的点，通过“k次方缩放+复数$c$的旋转/缩放”映射到复平面的另一处；
  • 因为高次项的影响可以忽略，$f(z)$和$g(w)$对附近点的映射效果几乎一致，反映在图像上就是两者的局部形状相似——不管$c$是实数还是复数，这种相似性都是结构上的一致，只是多了一个线性的旋转或缩放变换。

举个直观的例子：如果$k=2$，$c=1$，$z_0=0$，多项式$f(z)=z^2+z3$，当$z$靠近0时，$z^{3$的大小远小于$z}2$，所以$f(z)$的图像和$z^{2$的图像几乎重合；如果$c=i$，那就是把$w}2$的图像整体旋转90度，结构上还是和$w^2$的局部图像相似。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Antoni Parellada