分裂正合序列问题：由左分裂推导右分裂同态的构造

首先咱们先梳理清楚手里的已知条件，帮我们锚定思路：

• 正合序列 $0 \rightarrow M' \stackrel{f}{\rightarrow} M \stackrel{g}{\rightarrow} M'' \rightarrow 0$，因此 $\text{im } f = \ker g$，$f$ 是单射，$g$ 是满射；
• 存在同态 $\psi: M \rightarrow M'$ 满足 $\psi \circ f = I_{M'}$；
• 已证得 $M = \psi^{-1}(0) \oplus f(M')$，也就是说任意 $m \in M$ 都能唯一分解为 $m = m_0 + f(m')$，其中 $m_0 \in \psi^{-1}(0)$，$m' \in M'$。

接下来咱们一步步完成$\phi$的构造与验证：

步骤1：定义$\phi$的映射规则 #

对于任意 $x \in M''$，因为 $g$ 是满射，所以必然存在某个 $m \in M$ 使得 $g(m) = x$。
把这个 $m$ 按照直和分解写成 $m = m_0 + f(m')$（$m_0 \in \psi^{-1}(0)$，$m' \in M'$），我们直接定义：
$$\phi(x) = m_0$$

步骤2：验证$\phi$是良定的（不依赖$m$的选择） #

假设存在另一个 $m^* \in M$ 也满足 $g(m^) = x$，那么 $g(m - m^) = g(m) - g(m^) = x - x = 0$，所以 $m - m^ \in \ker g = f(M')$。
设 $m - m^* = f(m'')$（$m'' \in M'$），则 $m^* = m - f(m'')$。
将 $m^$ 分解：$m^ = (m_0 + f(m')) - f(m'') = m_0 + f(m' - m'')$，它的 $\psi^{-1}(0)$ 分量依然是 $m_0$。
这说明不管选哪个满足 $g(m)=x$ 的 $m$，分解出来的 $\psi^{-1}(0)$ 分量都是唯一的，因此 $\phi(x)$ 的定义是严谨的。

步骤3：验证$\phi$是同态 #

任取 $x_1, x_2 \in M''$，设 $g(m_1)=x_1$，$g(m_2)=x_2$，分解得 $m_1 = m_{01} + f(m'1)$，$m_2 = m{02} + f(m'2)$。
那么 $m_1 + m_2 = (m{01} + m_{02}) + f(m'1 + m'2)$，而 $g(m_1 + m_2) = x_1 + x_2$，因此 $\phi(x_1 + x_2) = m{01} + m{02} = \phi(x_1) + \phi(x_2)$。
同理，对任意标量 $k$，$g(k m_1) = k x_1$，$k m_1 = k m_{01} + f(k m'1)$，所以 $\phi(k x_1) = k m{01} = k \phi(x_1)$。
由此可证 $\phi$ 是模同态（或群同态，取决于你讨论的范畴）。

步骤4：验证$g \circ \phi = I_{M''}$ #

对于任意 $x \in M''$，取 $m \in M$ 满足 $g(m)=x$，分解得 $m = m_0 + f(m')$，则 $\phi(x)=m_0$。
计算 $g(\phi(x)) = g(m_0)$，而 $g(m) = g(m_0) + g(f(m'))$，因为 $f(m') \in \ker g$（正合性），所以 $g(f(m'))=0$，因此 $g(m_0) = g(m) = x = I_{M''}(x)$。
这就证明了 $g \circ \phi = I_{M''}$。

总结来说，核心思路就是利用直和分解的唯一性，把满射拉回的元素“剥离”掉属于$\ker g$的部分，剩下的分量就可以用来定义$\phi$，整个过程既保证了映射的严谨性，又满足了我们需要的条件。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者P.G