已知原序列极限，证明其平方根序列的极限等于极限的平方根

嘿，我明白你为啥觉得用抽象的ε-N定义证明这个结论有点棘手——毕竟脱离具体代数表达式后，得自己构造合适的ε和N的对应关系才行。下面我一步步给你理清楚这个证明的思路，每一步都严格贴合你给出的收敛定义：

序列$x_n$收敛于常数$\alpha$的定义为：$$\exists\alpha\in\mathbb{R}\forall\epsilon>0\exists N\in\mathbb{N}\forall n\ge N:|x_n-\alpha|<\epsilon$$

已知条件：非负实数列${x_n}$满足$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0\in\mathbb{R}$（由极限的保非负性可知$x_0\ge0$），我们需要对任意$\epsilon>0$，找到对应的$N\in\mathbb{N}$，使得当$n\ge N$时，$|\sqrt{x_n}-\sqrt{x_0}|<\epsilon$。

我们分两种情况讨论：

情况1：$x_0=0$ #

当$x_0=0$时，我们需要证明$\lim_{n\to\infty}\sqrt{x_n}=0$。

根据$x_n$收敛到0的定义：对任意$\epsilon>0$，取$\epsilon'=\epsilon^2>0$，则存在$N\in\mathbb{N}$，使得当$n\ge N$时，$|x_n - 0| < \epsilon'=\epsilon^2$。

因为$x_n\ge0$，所以$\sqrt{x_n}\ge0$，因此$|\sqrt{x_n}-0|=\sqrt{x_n}$。结合上面的不等式，我们有：
$$\sqrt{x_n} < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon$$
这就满足了$\sqrt{x_n}$收敛到0的定义。

情况2：$x_0>0$ #

当$x_0>0$时，我们可以利用平方差公式来关联$x_n$和$\sqrt{x_n}$的差异：
$$\sqrt{x_n} - \sqrt{x_0} = \frac{(x_n - x_0)}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_0}}$$
两边取绝对值：
$$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x_0}| = \frac{|x_n - x_0|}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x_0}}$$

接下来我们需要给分母找一个下界，避免它趋近于0：
因为$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0>0$，取$\epsilon_1=\frac{x_0}{2}>0$，则存在$N_1\in\mathbb{N}$，当$n\ge N_1$时，$|x_n - x_0| < \frac{x_0}{2}$，即：
$$x_n > x_0 - \frac{x_0}{2} = \frac{x_0}{2} > 0$$
因此$\sqrt{x_n} > \sqrt{\frac{x_0}{2}}$，分母$\sqrt{x_n} + \sqrt{x_0} > \sqrt{\frac{x_0}{2}} + \sqrt{x_0} = \sqrt{x_0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + 1\right) > \sqrt{x_0} > 0$。

由此我们可以得到不等式：
$$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x_0}| < \frac{|x_n - x_0|}{\sqrt{x_0}}$$

现在，对任意$\epsilon>0$，根据$x_n$收敛到$x_0$的定义，取$\epsilon'=\epsilon\sqrt{x_0}>0$，则存在$N_2\in\mathbb{N}$，当$n\ge N_2$时，$|x_n - x_0| < \epsilon'=\epsilon\sqrt{x_0}$。

取$N=\max{N_1,N_2}$，当$n\ge N$时，同时满足上面两个条件，代入不等式得：
$$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x_0}| < \frac{\epsilon\sqrt{x_0}}{\sqrt{x_0}} = \epsilon$$
这就满足了$\sqrt{x_n}$收敛到$\sqrt{x_0}$的定义。

总结 #

两种情况都严格符合收敛的ε-N定义，因此$\lim_{n\to\infty}\sqrt{x_n}=\sqrt{x_0}$成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者EllipticalInitial