抽象代数：环论——证明R/(3)含9个元素、I/(3)含3个元素

咱们一步步来拆解这个问题，先严谨证明$R/(3)$有9个元素，再处理$I/(3)$的情况：

首先，$R = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$里的每个元素都能写成$a + b\sqrt{-5}$的形式，其中$a,b$都是整数。要算商环$R/(3)$的元素个数，用环同态基本定理是最严谨的方法：

• 先定义一个环映射$\varphi: R \to (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[\sqrt{-5}]$，把每个元素$a + b\sqrt{-5}$映射成$(\overline{a}) + (\overline{b})\sqrt{-5}$——这里$\overline{a}$就是$a$除以3的余数，也就是$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$里的元素（比如$\overline{0},\overline{1},\overline{2}$）。
• 接下来证明这个映射的核（也就是被映射到0的元素集合）正好是理想$(3)$：
  • 如果$x = a + b\sqrt{-5}$在核里，那$\overline{a} = 0$且$\overline{b} = 0$，说明$a$和$b$都是3的倍数，即$a=3k$，$b=3m$，所以$x=3(k + m\sqrt{-5})$，显然属于$(3)$。
  • 反过来，如果$x$属于$(3)$，那$x=3(k + m\sqrt{-5})$，映射后就是$\overline{3k} + \overline{3m}\sqrt{-5} = 0 + 0\sqrt{-5} = 0$，所以$x$在核里。
• 根据同态基本定理，$R/(3)$和$\varphi$的像（也就是$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[\sqrt{-5}]$）是同构的。而$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})[\sqrt{-5}]$里的元素就是$\overline{a} + \overline{b}\sqrt{-5}$，$\overline{a}$和$\overline{b}$各有3种选择，总共$3×3=9$个不同元素，所以$R/(3)$恰好有9个元素。

再看理想$I=(3, 2+\sqrt{-5})$，$I/(3)$是$R/(3)$的子理想，我们可以结合刚才的同构来分析：

• $I/(3)$里的任意元素都能写成$(3s + (2+\sqrt{-5})t) + (3)$（$s,t$是整数），模3之后就简化成$\overline{2t} + \overline{t}\sqrt{-5}$，也就是$\overline{t}×(\overline{2} + \sqrt{-5})$，其中$\overline{t}$是$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$里的元素。
• 当$\overline{t}$取$\overline{0},\overline{1},\overline{2}$时，对应的元素分别是：
  • $\overline{0}$
  • $\overline{2} + \sqrt{-5}$
  • $\overline{1} + \overline{2}\sqrt{-5}$（因为$2×2=4$，模3就是1；$2×\sqrt{-5}$就是$\overline{2}\sqrt{-5}$）
• 这三个元素肯定不一样：假设两个元素相等，那$\overline{2(t_1-t_2)}=0$且$\overline{t_1-t_2}=0$，在$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$里这只能是$\overline{t_1}=\overline{t_2}$，所以三个元素两两不同。
• 而且$I/(3)$里的所有元素都能表示成这种形式，所以它正好有3个元素。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者James Jing