有限生成阿贝尔群的有限维复表示是否完全可约？

结论分两种情况：

• 如果这个有限生成阿贝尔群是有限群，答案是是的，所有有限维复表示都完全可约；
• 如果这个群是无限群（比如$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}^2$等），答案是不是，存在非完全可约的有限维复表示。

具体论证： #

先回忆有限生成阿贝尔群的结构定理：任何有限生成阿贝尔群$G$都能分解为 $G \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/n_1\mathbb{Z} \oplus \dots \oplus \mathbb{Z}/n_k\mathbb{Z}$，其中$r \geq 0$（$r$是群的秩），$n_1|n_2|\dots|n_k$是正整数。

情况1：$r=0$（$G$是有限群）

根据Maschke定理：有限群的有限维复表示都是完全可约的。再结合阿贝尔群的特性：阿贝尔群的不可约复表示都是1维的（由Schur引理，不可约表示空间上每个群元素的作用都是标量算子，因此空间只能是1维）。所以此时$G$的任何有限维复表示都能拆成1维不可约表示的直和，自然满足完全可约性。

情况2：$r>0$（$G$是无限群）

我们以$G=\mathbb{Z}$为例构造一个非完全可约的表示：
取有限维复向量空间$V=\mathbb{C}^2$，定义$\mathbb{Z}$在$V$上的作用为：
$$n \cdot \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + ny\y\end{pmatrix}, \quad \forall n \in \mathbb{Z}$$
这个作用是群同态（验证：$(m+n)\cdot v = m\cdot(n\cdot v)$，单位元$0$作用为恒等映射），因此是一个合法的有限维复表示。

观察这个表示的不变子空间：子空间$W=\mathbb{C}\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}$是不变的（因为$n\cdot\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\0\end{pmatrix}$）。但$W$没有补不变子空间：假设存在1维不变子空间$U=\mathbb{C}\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}$是$W$的补，那么对任意$n\in\mathbb{Z}$，$n\cdot\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+nb\b\end{pmatrix}$必须属于$U$，即存在$\lambda_n\in\mathbb{C}$使得：
$$a+nb = \lambda_n a, \quad b = \lambda_n b$$
如果$b\neq0$，则$\lambda_n=1$，代入第一个等式得$nb=0$对所有$n\in\mathbb{Z}$成立，这只有$b=0$，矛盾；如果$b=0$，则$U=W$，不是补空间。因此$W$没有补不变子空间，说明这个表示不是完全可约的。

对于一般$r>0$的有限生成阿贝尔群，因为$\mathbb{Z}$是它的直和因子，我们可以把上述表示扩展到整个群（让其他直和因子作用为恒等），就能得到同样的非完全可约表示。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lars D.