多面体虫洞是否合理？——Visser多面体虫洞极限的时空合法性问询

咱们先把问题的核心拎出来：Visser定义的这类多面体洞口虫洞，是把边半径趋近于零的光滑多面体取极限得到的。你关心的是这个极限能不能作为“合理的真实时空”——说白了就是，从闵可夫斯基时空中挖掉两个多面体，再把它们的边界贴合起来，能不能得到一个合法的洛伦兹流形？你的疑虑点非常准，咱们一步步说：

一、流形拼接的核心要求 #

流形拼接可不是随便粘就行的，有两个关键前提：

• 待拼接的两个边界得是微分同胚的；
• 边界附近必须存在领邻域（collar neighborhood）——简单讲就是，边界旁边的一小块区域得能和“边界×[0,1)”这种乘积空间微分同胚，这样才能保证拼接后整个空间的微分结构是连续、光滑的，对于洛伦兹流形来说，还得保证度规能平滑过渡。

二、多面体边界的领邻域问题 #

你担心的“边附近的领邻域”问题，恰恰是这个构造的死穴：多面体的边界是带棱角（顶点和边）的，这种边界不存在标准的光滑领邻域。在棱角的位置，你根本没法构造出光滑流形边界那种规则的乘积结构——几何上是奇异的，没法平滑地过渡到多面体内部。

这里得区分两种情况：

• 如果只要求是拓扑流形，那没问题：凸多面体的边界拓扑上就是球面，只要两个边界同胚，拓扑层面的拼接是能做到的。但咱们讨论的是时空，得是洛伦兹流形，这就要求微分结构和度规的相容性了。
• 如果要做合法的洛伦兹流形，这个极限构造就不成立：当边半径趋于0时，原来光滑多面体的度规在棱角处的曲率会疯涨至无穷大，极限后的“多面体洞口”边界处，度规是不连续甚至不可微的，完全满足不了洛伦兹流形对度规的光滑性要求（至少得是C¹，不然连测地线的存在唯一性都没法保证）。

三、Visser这个构造的本质 #

其实Visser的这个定义更像是一种拓扑近似手段：用带圆角的光滑多面体来逼近多面体洞口的虫洞，方便计算一些拓扑性质，但从微分几何的严格角度来说，这个极限并不是一个合法的洛伦兹流形——棱角处的微分结构是奇异的，度规没法平滑延拓到整个拼接后的时空。

四、如果想让构造合法，该怎么修正？ #

要是真想让这类虫洞成为合理的时空，有两种常见的修正思路：

• 别把边半径取到零：保留一个很小的边半径，这样光滑多面体的边界是完全光滑的，存在合法的领邻域，就能拼接成正经的洛伦兹流形，无非就是洞口带点“圆角”而已。
• 给多面体边界做光滑化处理：在棱角处引入平滑过渡的度规，让边界附近的度规从闵氏度规平滑地过渡到拼接后的度规，把奇异性给消掉。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Slereah