非标准内积下正交补的基变换问题：G'=R^TGR求解疑问

嘿，这个问题其实戳中了基变换下内积与正交补的核心逻辑，我来给你拆解明白：

首先得明确：子空间的正交补是由向量之间的内积关系定义的集合，和你用哪个基来描述这些向量无关。标准基下的子空间$W = \langle u \rangle$，它的正交补$W^\perp$是所有满足$\langle v, u \rangle = 0$的向量$v$构成的集合——这个集合本身不会因为你换了极基就改变，变的只是我们用极基坐标来描述$W$和$W^\perp$时对应的方程形式。

具体来说，假设从标准基到极基的变换矩阵是$R$（即极基的每个向量在标准基下的坐标是$R$的列），那么：

• 标准基下的向量坐标$x$和极基下的坐标$x'$满足$x = R x'$
• 极基下的内积矩阵$G' = R^T G R$，这是半双线性形式在基变换下的标准变换规则

标准基下$W^{\perp$的方程是$v}T G u = 0$，把$v = R v'$、$u = R u'$代入后，就得到$(R v')^T G (R u') = v'^T (R^T G R) u' = v'^T G' u' = 0$——这就是极基下$W^\perp$的方程，本质上和标准基下的方程描述的是同一个向量集合。

答案是肯定的，原因很简单：矩阵$G'$是专门对应极基坐标的内积矩阵，它只能和极基下的坐标向量搭配使用。

你提到标准基下解方程$u.G = 0$（这里应该是指用$u$的标准基坐标行向量左乘$G$，得到的条件对应正交补），但如果要换成$G'$来计算，必须先把$u$的坐标转换成极基下的形式：

1. 设$u$的标准基坐标为$u_{\text{std}}$，极基坐标为$u_{\text{polar}}$，那么$u_{\text{std}} = R u_{\text{polar}}$，所以$u_{\text{polar}} = R^{-1} u_{\text{std}}$
2. 用极基坐标的$u_{\text{polar}}$代入方程$u_{\text{polar}}.G' = 0$，解出来的是极基下$W^\perp$的坐标向量
3. 如果需要回到标准基，只需要把解出的极基坐标乘以$R$即可

要是直接拿标准基下的$u_{\text{std}}$去乘$G'$，得到的结果没有任何几何意义——因为坐标向量和矩阵的“坐标系”不匹配，就像用米尺的读数去套英尺的刻度一样，完全对不上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Zuzana Mitterová