后向差分N阶公式求解：已知▽ⁿf(x)=x²+x（h=1），已得一阶差分求后续步骤

很棒，你已经完成了一阶后向差分的推导！既然步长h=1，咱们先把一阶结果简化一下，这样后续高阶差分的计算会更顺畅：

你得到的一阶差分公式是 ▽f(x) = 2xh - h² + h，代入h=1后，直接化简为：
▽f(x) = 2x*1 - 1² + 1 = 2x

接下来要推导高阶后向差分，核心记住一个规则：k阶后向差分就是对(k-1)阶差分再执行一次一阶后向差分，也就是递推公式 ▽ᵏf(x) = ▽[▽ᵏ⁻¹f(x)]，而一阶差分的操作（h=1时）始终是 ▽g(x) = g(x) - g(x-1)，下面一步步来：

二阶后向差分推导 #

我们对一阶差分的结果▽f(x)=2x做一次后向差分：

▽²f(x) = ▽[▽f(x)] = ▽(2x)
= 2x - 2(x-1)
= 2x - 2x + 2
= 2

三阶后向差分推导 #

再对二阶差分的结果（常数2）执行后向差分：

▽³f(x) = ▽[▽²f(x)] = ▽(2)
= 2 - 2
= 0

n≥3时的N阶后向差分 #

当阶数n≥3时，我们是对0做后向差分，显然：
▽ⁿf(x) = ▽[▽ⁿ⁻¹f(x)] = ▽(0) = 0 - 0 = 0

总结 #

根据推导结果，我们可以得到：

• 当n=1时，▽f(x)=2x
• 当n=2时，▽²f(x)=2
• 当n≥3时，▽ⁿf(x)=0

额外提个小知识点：对于多项式函数，k阶后向差分的次数会比原多项式低k次（当k≤原多项式次数时）；当k超过原多项式次数时，差分结果恒为0。这里f(x)是二次多项式，所以三阶及以上的差分自然都是0，和我们的推导完全吻合~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Eman Yusuf