如何利用给定坐标求解三次函数？求解结果与绘图工具不符求助

首先，三次函数的一般形式是 y = ax³ + bx² + cx + d，我们可以通过代入四个坐标点建立方程组，解出系数a、b、c、d。下面一步步来做：

步骤1：代入第一个点确定d值 #

第一个点是$(0,135)$，把x=0，y=135代入一般式：

$135 = a0³ + b0² + c*0 + d$
直接得出 d=135，这一步应该没问题。

步骤2：代入剩余三个点建立方程组 #

• 代入$(1,156)$：
  $156 = a1³ + b1² + c*1 + 135$
  化简得：$a + b + c = 21$ —— 方程①

• 代入$(2,115)$：
  $115 = a2³ + b2² + c*2 + 135$
  计算得：$8a + 4b + 2c = 115 - 135 = -20$
  两边除以2简化：$4a + 2b + c = -10$ —— 方程②

• 代入$(3,0)$：
  $0 = a3³ + b3² + c*3 + 135$
  计算得：$27a + 9b + 3c = -135$
  两边除以3简化：$9a + 3b + c = -45$ —— 方程③

步骤3：解三元一次方程组 #

我们用消元法来解这三个方程：

1. 用方程②减去方程①：
   $(4a + 2b + c) - (a + b + c) = -10 - 21$
   化简得：$3a + b = -31$ —— 方程④

2. 用方程③减去方程②：
   $(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = -45 - (-10)$
   化简得：$5a + b = -35$ —— 方程⑤

3. 用方程⑤减去方程④：
   $(5a + b) - (3a + b) = -35 - (-31)$
   化简得：$2a = -4$ → a = -2

4. 把a=-2代入方程④：
   $3*(-2) + b = -31$ → $-6 + b = -31$ → b = -25

5. 把a=-2、b=-25代入方程①：
   $-2 + (-25) + c = 21$ → $-27 + c = 21$ → c = 48

步骤4：验证正确的三次函数 #

把a=-2、b=-25、c=48、d=135代入一般式，得到：
y = -2x³ -25x² +48x +135

我们逐个验证四个点：

• x=0时，y=135 ✔️
• x=1时，$-2-25+48+135=156$ ✔️
• x=2时，$-16-100+96+135=115$ ✔️
• x=3时，$-54-225+144+135=0$ ✔️

分析你之前的错误 #

你之前得到的-6x³ -x² +28x +135，代入x=1时结果是$-6-1+28+135=156$（这步对），但x=2时是$-6*8 -4 +56 +135=-48-4+56+135=139$，和给定的115不符，应该是在代入第二个点之后的方程组求解过程中，符号或者系数计算出错了，比如在处理方程②的时候可能算错了常数项。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Surya Karthikeyan