如何假设该偏微分方程的解？含径向项PDE求解咨询

首先直接给结论：不能假设解为$u=e^{ar}$，原因有两点：

• 方程右侧是关于$z$的函数$\frac{\partial p}{\partial z}=f'(z)$，而$e^{ar}$仅依赖于$r$，代入方程后左边是纯$r$的函数，右边是纯$z$的函数，除非$f'(z)$是常数，否则无法满足等式；
• 这个方程对$r$而言是欧拉型二阶线性常微分方程，其解的形式和指数函数完全不同，我们可以按以下步骤逐步求解：

步骤1：转化为关于$r$的常微分方程 #

因为$p=f(z)$，所以$\frac{\partial p}{\partial z}=f'(z)$是仅关于$z$的函数，我们可以把原方程视为以$z$为参数、$r$为自变量的常微分方程：
$$4\beta\left(u_{rr} + \frac{1}{r}u_r\right) = f'(z)$$
两边除以$4\beta$，整理为更简洁的形式：
$$u_{rr} + \frac{1}{r}u_r = \frac{f'(z)}{4\beta} \tag{1}$$

步骤2：求解齐次方程 #

先处理对应的齐次方程：
$$u_{rr} + \frac{1}{r}u_r = 0$$
令$v=u_r$，将方程转化为一阶ODE：
$$v_r + \frac{1}{r}v = 0$$
分离变量后积分：
$$\int \frac{dv}{v} = -\int \frac{dr}{r} \implies \ln v = -\ln r + C_1(z)$$
这里的积分常数$C_1$依赖于$z$（因为原方程是偏微分方程，积分常数可以是$z$的函数），整理后得到：
$$v = \frac{C_1(z)}{r} \implies u_r = \frac{C_1(z)}{r}$$
再次积分得到齐次解：
$$u_h(r,z) = C_1(z)\ln r + C_2(z)$$

步骤3：寻找非齐次方程的特解 #

方程(1)的右侧是与$r$无关的函数$\frac{f'(z)}{4\beta}$，我们假设特解形式为$u_p(r,z)=A(r)\cdot \frac{f'(z)}{4\beta}$，代入方程(1)后可得：
$$A''(r) + \frac{1}{r}A'(r) = 1$$
同样令$w=A'(r)$，转化为一阶线性ODE：
$$w_r + \frac{1}{r}w = 1$$
用积分因子法求解，积分因子取$r$，两边乘$r$后得到：
$$\frac{d}{dr}(rw) = r$$
积分得：
$$rw = \frac{1}{2}r^2 + D_1 \implies w = \frac{1}{2}r + \frac{D_1}{r}$$
再次积分得到$A(r)$：
$$A(r) = \frac{1}{4}r^2 + D_1\ln r + D_2$$
由于齐次解已经包含$\ln r$和常数项，我们可以取$D_1=0,D_2=0$，得到最简特解：
$$u_p(r,z) = \frac{f'(z)}{4\beta}\cdot \frac{1}{4}r^2 = \frac{f'(z)r^2}{16\beta}$$

步骤4：通解与边界条件应用 #

方程(1)的通解为齐次解加特解：
$$u(r,z) = \frac{f'(z)r^2}{16\beta} + C_1(z)\ln r + C_2(z)$$

现在代入边界条件：

1. $r=0$时，$\frac{\partial u}{\partial r}=0$：
   先计算导数：
   $$u_r = \frac{f'(z)r}{8\beta} + \frac{C_1(z)}{r}$$
   当$r\to0$时，$\frac{C_1(z)}{r}$项会发散，要满足导数为有限值0，必须让$C_1(z)=0$。

2. $r=1$时，$u=0$：
   代入$C_1(z)=0$和$r=1$：
   $$0 = \frac{f'(z)}{16\beta} + C_2(z) \implies C_2(z) = -\frac{f'(z)}{16\beta}$$

最终解 #

将$C_1(z)$和$C_2(z)$代入通解，得到满足所有条件的解：
$$u(r,z) = \frac{f'(z)}{16\beta}(r^2 - 1)$$

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