Gelfand三元组（装备希尔伯特空间）中广义特征函数与特征值谱的关联问题

先对齐咱们的前提框架，避免歧义：

• 给定Gelfand三元组 $V \subset \mathcal{H} \subset V'$：$\mathcal{H}$ 是希尔伯特空间，$V$ 也是希尔伯特空间，连续且稠密嵌入到 $\mathcal{H}$（这里明确是非紧嵌入），$V'$ 是基于 $\mathcal{H}$ 的内积配对构造的对偶空间。
• 自伴算子 $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ 还满足 $A: V \to V$ 连续，我们通过对偶性把它延拓成 $A': V' \to V'$。

你问的是：如果存在 $A'$ 的广义特征函数，对应的特征值是不是一定属于 $A$ 的谱？

直接给结论：是的，肯定属于 #

不过得先把广义特征函数的定义掰扯清楚，再细说为什么。

一步步拆解解释 #

1. 先明确广义特征函数的定义
   我们说 $\phi \in V' \setminus \mathcal{H}$ 是 $A'$ 对应特征值 $\lambda \in \mathbb{C}$ 的广义特征函数，当且仅当对所有 $v \in V$，都有：
   $$\langle A' \phi, v \rangle_{V',V} = \lambda \langle \phi, v \rangle_{V',V}$$
   结合对偶延拓的定义（$\langle A' \phi, v \rangle = \langle \phi, A v \rangle_{V',V}$），上式等价于：
   $$\langle \phi, A v - \lambda v \rangle_{V',V} = 0, \quad \forall v \in V$$
   说白了就是 $\phi$ 在 $(A - \lambda I)(V)$ 这个子空间上的对偶配对全为0。

2. 联系到算子的谱
   对于自伴算子 $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$，它的谱 $\sigma(A)$ 分成点谱（就是咱们常说的特征值，存在 $\mathcal{H}$ 中非零元满足 $Au=\lambda u$）、连续谱，而且自伴算子没有剩余谱，这点很关键。

   • 如果 $\lambda$ 是点谱：那存在非零 $u \in \mathcal{H}$ 使得 $Au=\lambda u$，因为 $A: V \to V$ 连续，$u = \lambda^{-1}Au$（$\lambda \neq 0$ 时）肯定在 $V$ 里；就算 $\lambda=0$，$u \in \ker A$，而 $V$ 在 $\mathcal{H}$ 稠密，$\ker A \cap V$ 也在 $\ker A$ 稠密，所以 $u$ 可以看成 $V'$ 里的元素，自然是 $A'$ 的广义特征函数。
   • 如果 $\lambda$ 属于连续谱：这时候 $A - \lambda I$ 是单射，但它的值域在 $\mathcal{H}$ 里不是满射（不过是稠密的）。但回到 $V$ 层面，$(A - \lambda I)(V)$ 在 $V$ 里不是稠密的——要是它在 $V$ 稠密，那延拓到 $\mathcal{H}$ 后的值域也会稠密且闭（因为自伴算子的闭值域定理），就变成满射了，这和连续谱的定义矛盾。所以存在非零 $\phi \in V'$，它在 $(A - \lambda I)(V)$ 上的配对全为0，也就是满足广义特征方程。而这个 $\lambda$ 显然属于 $\sigma(A)$。

3. 关于非紧嵌入的说明
   你提到这里是非紧嵌入，但咱们的推导完全没用到紧性条件，所以这个结论不受非紧嵌入的影响。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者marbled