利用麦克劳林级数计算定积分并控制误差小于0.0005

嘿，我来帮你把这个麦克劳林级数近似计算定积分的过程梳理清楚，还会帮你搞定误差小于0.0005的要求～

1. 推导积分的级数形式 #

首先，我们先回忆一下$e^t$的麦克劳林级数：
$$e^t = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{t}n}{n!}$$
把$t = x^{2$代入进去，就能得到$e}{x^2}$的幂级数展开：
$$e^{x2} = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{(x}2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{x}{2n}}{n!}$$

因为幂级数在它的收敛区间内可以逐项积分，所以我们对这个级数从0到1积分：
$$\int_0^1 e^{x2}dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{x}{2n}}{n!}dx = \sum_{n=0}^{{\infty}\frac{1}{n!}\int_0}1 x^{2n}dx$$

接下来计算单个积分项：$\int_0^1 x^{2n}dx = \left[\frac{x^{{2n+1}}{2n+1}\right]_0}1$，代入上下限后，$0^{2n+1}=0$（$n\geq0$时都成立），所以这一项直接消失，最终我们得到：
$$\int_0^1 e^{x2}dx = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)n!}$$

2. 确定满足误差要求的项数 #

这是一个正项级数，所以截断后的余项$R_N = \sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)n!}$就是我们的近似误差，我们需要找到最小的$N$，让$R_N < 0.0005$。

我们可以逐项计算部分和，同时估算余项：

• $n=0$：$\frac{1}{1\cdot0!}=1$，部分和$S_0=1$
• $n=1$：$\frac{1}{3\cdot1!}\approx0.3333$，部分和$S_1=1.3333$
• $n=2$：$\frac{1}{5\cdot2!}=0.1$，部分和$S_2=1.4333$
• $n=3$：$\frac{1}{7\cdot3!}\approx0.0238$，部分和$S_3=1.4571$
• $n=4$：$\frac{1}{9\cdot4!}\approx0.00463$，部分和$S_4=1.4617$
• $n=5$：$\frac{1}{11\cdot5!}\approx0.000758$，部分和$S_5=1.4625$
• $n=6$：$\frac{1}{13\cdot6!}\approx0.000107$，这一项已经小于0.0005，而且后面的项会越来越小

现在看误差：

• 如果只取到$n=4$，余项$R_4 = \sum_{n=5}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)n!} \approx 0.000758 + 0.000107 + ... \approx 0.00086 > 0.0005$，不满足要求
• 当取到$n=5$时，余项$R_5 = \sum_{n=6}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)n!} \approx 0.000107 + \text{更小的项} < 0.0002 < 0.0005$，完全满足误差要求

所以最终满足误差小于0.0005的近似值是$\boldsymbol{\approx1.4625}$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者private wright