关于正整数解方程$y^3=x^3+8x^2-6x+8$的变形逻辑疑问

要解决正整数解$y^3 = x^3 + 8x^2 - 6x + 8$，核心思路是利用立方函数的严格单调性：对于整数$a < b$，若$a^3 < y^3 < b^3$，则必有$a < y < b$，这样就能把$y$的可能值限定在极小范围内，避免盲目枚举。

为什么选$n=1$（即$(x+1)^3$）？ #

我们先计算$y^3 - (x+1)^3$：

y³ - (x+1)³ = (x³+8x²-6x+8) - (x³+3x²+3x+1) = 5x² -9x +7

这是一个二次函数，二次项系数$5>0$，判别式$\Delta = (-9)^2 - 457 = 81-140 = -59 < 0$，说明对于所有正整数$x$，这个式子的值都是正的。也就是说$y³ > (x+1)^3$，结合立方函数的单调性，直接得出$y > x+1$。

为什么选$n=3$（即$(x+3)^3$）？ #

再计算$(x+3)^3 - y^3$：

(x+3)³ - y³ = (x³+9x²+27x+27) - (x³+8x²-6x+8) = x² +33x +19

对于正整数$x$，$x²$、$33x$、$19$都是正数，所以这个式子的值恒正，即$(x+3)^3 > y³$，同样结合单调性得出$y < x+3$。

为什么不选其他$n$？ #

• 选$n=0$：$y³ -x³ =8x²-6x+8>0$，只能得出$y>x$，范围太宽，没法缩小$y$的可能值；
• 选$n=2$：$y³ - (x+2)^3 =2x²-18x=2x(x-9)$，这个式子当$x<9$时为负，$x=9$时为0，$x>9$时为正，无法得到对所有正整数$x$都成立的统一不等式，没法直接限定$y$；
• 选$n≥4$：比如$n=4$，$(x+4)^3 -y³$确实恒正，但会得到$y <x+4$，此时$y$可能是$x+2$或$x+3$，需要分情况讨论，增加了计算量，不如$n=3$高效。

最终效果 #

通过$n=1$和$n=3$的构造，我们得到了严格的整数范围：$x+1 < y <x+3$，而$y$是正整数，所以$y$只能等于$x+2$。接下来把$y=x+2$代入原方程，就能轻松解出$x$的值：

(x+2)³ =x³+8x²-6x+8
x³+6x²+12x+8 =x³+8x²-6x+8
0=2x²-18x
x(2x-18)=0

因为$x$是正整数，所以$x=9$，对应的$y=11$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者rustyelectron