拓扑学作业求助：证明满足f(x)+g(x)≠0的映射f,g:X→Sⁿ同伦

云原生阿岚

2026-5-19

证明思路：当 ( f,g:X \to S^n ) 满足 ( f(x)+g(x) \neq 0 ) 时，( f \simeq g )

这题是拓扑同伦证明里的经典题型，核心就是找到满足要求的连续同伦映射，我给你拆解一下具体思路：

先明确目标：我们需要构造一个连续映射 ( H: X \times [0,1] \to S^n )，使得对所有 ( x \in X )，有 ( H(x,0) = f(x) ) 且 ( H(x,1) = g(x) )——这就是同伦的定义。
分析给定条件的关键作用：题目中 ( f(x)+g(x) \neq 0 ) 的条件，本质是保证连接 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 的线段上不存在原点。换句话说，对任意 ( t \in [0,1] )，凸组合 ( (1-t)f(x) + tg(x) ) 永远不为0。这里可以简单验证这个等价性：
假设存在某个 ( t \in [0,1] ) 使得 ( (1-t)f(x) + tg(x) = 0 )，那么 ( (1-t)f(x) = -tg(x) )。两边取范数（因为 ( f(x),g(x) \in S^n )，范数均为1），可得 ( |1-t| = |t| )，解得 ( t = 1/2 )。代入后就得到 ( f(x) = -g(x) )，即 ( f(x)+g(x)=0 )，这和题目条件矛盾。反之，如果 ( f(x)+g(x)=0 )，那么 ( t=1/2 ) 时凸组合就是0。所以题目条件等价于所有凸组合非零。
构造具体的同伦映射：基于上面的分析，我们可以直接定义：
```
H(x,t) = \frac{(1-t)f(x) + tg(x)}{\|(1-t)f(x) + tg(x)\|}
```
现在验证这个映射满足所有要求：
1. 连续性：分子是连续函数的线性组合，显然连续；分母是范数函数，本身连续，且我们已经证明分母恒不为0，因此整个分式是连续的。
2. 取值在球面 ( S^n ) 上：分子的范数恰好等于分母，因此 ( |H(x,t)| = 1 )，符合球面的定义。
3. 端点条件：当 ( t=0 ) 时，( H(x,0) = \frac{f(x)}{|f(x)|} = f(x) )；当 ( t=1 ) 时，( H(x,1) = \frac{g(x)}{|g(x)|} = g(x) )，完全满足同伦的端点要求。
总结一下：这个构造是球面同伦证明中的标准技巧，核心就是利用题目条件排除了凸组合经过原点的可能性，让我们可以安全地把连接 ( f(x) ) 和 ( g(x) ) 的线段投影到球面上，从而得到连续的同伦映射。