度量空间中的开集与闭集疑问：开集是否满足闭集定义？

嘿，我当初啃度量空间的时候，也跟你一样对着开集闭集的定义犯迷糊，甚至一度琢磨：开集会不会天然就满足闭集的定义？太懂这种越想越绕的感觉了！咱们一点点把这个问题掰明白：

先把两个定义掰得明明白白 #

先别着急混着想，先把基础定义拎清楚：

• 开集的核心特征：在度量空间$(X,d)$里，一个集合$U \subseteq X$是开集，当且仅当集合里的每一个点，都能找到一个“足够小的开球”（就是以这个点为中心、半径为正的球$B(x,r) = { y \in X \mid d(x,y) < r }$），让这个开球完完全全落在$U$里。简单说就是，开集里没有“粘在边界上的点”，每个点都有自己的“专属小地盘”。
• 闭集的核心特征：有两个等价的定义，都很好用：
  1. 它的补集是开集；
  2. 它包含自己所有的极限点（极限点就是那种：不管你画多小的开球围着它，球里总能找到集合里不等于它的点）。

核心疑问：开集是不是总能满足闭集的定义？ #

答案是大部分情况不行，但存在特殊例外：

• 先看最常见的例子：实数集$\mathbb{R}$（用咱们熟悉的欧几里得距离）里的开区间$(0,1)$，它是开集没错，但绝对不是闭集——因为0和1都是它的极限点，但这俩点不在$(0,1)$里；而且它的补集$(-\infty,0] \cup [1,+\infty)$不是开集（比如0这个点，你找不到一个开球能完全落在补集里）。
• 那有没有既能当开集又能当闭集的集合？当然有！
  • 整个度量空间$X$本身：它的补集是空集$\emptyset$，而空集是开集（因为开集的定义要求“每个点都有开球在集合里”，空集里没点，这个条件自然成立），所以$X$是闭集；同时$X$也是开集，因为任何点的开球肯定都在$X$里。
  • 空集$\emptyset$：反过来，它的补集是$X$（开集），所以空集是闭集；同时它也满足开集的定义，所以也是开集。
  • 更特殊的离散度量空间（任意两个不同点的距离都是1）：在这个空间里所有子集都是既开又闭的。为啥？比如随便拿一个集合$A$，每个点$x \in A$的开球$B(x, 0.5)$里只有$x$自己，肯定完全在$A$里，所以$A$是开集；它的补集$X \setminus A$也是一样的道理，每个点的小开球都在补集里，所以补集是开集，那$A$就是闭集。

最后给你捋个清晰结论 #

• 开集和闭集的定义是通过“补集”关联的，但它们不是非此即彼的关系；
• 绝大多数情况下，一个集合要么是开集，要么是闭集，甚至可能两者都不是（比如$\mathbb{R}$里的$[0,1)$，既不是开集也不是闭集）；
• 只有少数特殊集合（全空间、空集，或者离散空间里的所有子集）才会同时满足开集和闭集的定义。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Alexander Denis