含幺交换环中极大理想为素理想的反证法证明问询

你的初始推导方向完全正确，我来帮你把这个证明补全并梳理清楚：

前提与反证假设 #

• 设$R$是含幺交换环，$I$是$R$的一个极大理想。
• 反证假设：假设$I$不是素理想，根据素理想的定义，存在元素$r_1, r_2 \notin I$，使得$r_1 \cdot r_2 \in I$（其中“·”为环内乘法运算）。

构造理想并利用极大性 #

我们构造两个理想：

• $I_1 = Rr_1 + I = { rr_1 + i \mid r \in R, i \in I }$
• $I_2 = Rr_2 + I = { rr_2 + i \mid r \in R, i \in I }$

显然有以下结论：

• $I \subseteq I_1$且$I_1 \neq I$（因为$r_1 \notin I$）；同理$I \subseteq I_2$且$I_2 \neq I$。
• 由于$I$是极大理想，根据极大理想的定义，$I_1 = R$，$I_2 = R$（这是整个证明的核心关键，你之前的推导还没用到这个性质）。

推导矛盾 #

因为$I_1 = R$，所以环的单位元$1 \in I_1$，即存在$a \in R$和$i_1 \in I$，使得：
$$1 = ar_1 + i_1$$

将等式两边同时乘以$r_2$，得到：
$$r_2 = ar_1r_2 + i_1r_2$$

分析右边两项：

• $ar_1r_2$：因为$r_1r_2 \in I$，而$I$是理想，理想对环内乘法封闭，所以$a(r_1r_2) \in I$；
• $i_1r_2$：$i_1 \in I$，同理理想对乘法封闭，所以$i_1r_2 \in I$。

理想对加法封闭，因此$ar_1r_2 + i_1r_2 \in I$，即$r_2 \in I$——这与我们最开始的假设$r_2 \notin I$矛盾！

结论 #

矛盾说明反证假设不成立，因此含幺交换环中的极大理想必定是素理想。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Tuhin Subhra Mukherjee