微分方程变量替换推导疑问：x=1/t时二阶导数变换求解困惑

嘿，我来帮你把这个推导过程拆解开，一步一步看就完全清楚了！核心就是反复用链式法则，中间还会用到一次乘积法则，咱们慢慢来：

首先明确替换关系：$y(x) = w(t)$，$x = \frac{1}{t}$。我们的目标是把原方程里的$\frac{d^2y}{dx2}$转换成关于$t$的导数形式。

第一步：计算一阶导数$\frac{dy}{dx}$ #

因为$y$是$x$的函数，$x$又是$t$的函数，根据链式法则，对$x$的导数可以转化为对$t$的导数除以$x$对$t$的导数：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dw}{dt}}{\frac{dx}{dt}}
$$
先算$\frac{dx}{dt}$：$x = t^{-1}$，求导得$\frac{dx}{dt} = -t^{-2} = -\frac{1}{t^2}$，那么它的倒数$\frac{dt}{dx} = -t^2$。

代入一阶导数的式子：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dw}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{dw}{dt} \cdot (-t^2) = -t^2 \frac{dw}{dt}
$$

第二步：计算二阶导数$\frac{d^2y}{dx2}$ #

二阶导数是一阶导数对$x$的导数，同样要用链式法则：先对$t$求导，再乘以$\frac{dt}{dx}$，也就是：
$$
\frac{d^2y}{dx2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{dy}{dx} \right) \cdot \frac{dt}{dx}
$$
现在对$\frac{dy}{dx} = -t^2 \frac{dw}{dt}$求关于$t$的导数，这里要用到乘积法则（公式：$(uv)' = u'v + uv'$，这里$u=-t^2$，$v=\frac{dw}{dt}$）：
$$
\frac{d}{dt}\left( -t^2 \frac{dw}{dt} \right) = -2t \cdot \frac{dw}{dt} + (-t^2) \cdot \frac{d^2w}{dt2} = -2t \frac{dw}{dt} - t^2 \frac{d^2w}{dt2}
$$
然后乘以$\frac{dt}{dx}=-t^2$：
$$
\frac{d^2y}{dx2} = \left( -2t \frac{dw}{dt} - t^2 \frac{d^2w}{dt2} \right) \cdot (-t^2)
$$
展开计算后就得到：
$$
= 2t^3 \frac{dw}{dt} + t^4 \frac{d^2w}{dt2}
$$
这就是讲师给出的括号里的部分啦！

第三步：代入原方程验证 #

原方程是$x^2\frac{d2y}{dx^2} + y = 0$，因为$x=\frac{1}{t}$，所以$x^2=\frac{1}{t2}$，把刚才算出的二阶导数代入：
$$
\frac{1}{t^2} \left( t^4 \frac{d^2w}{dt2} + 2t^3 \frac{dw}{dt} \right) + w = 0
$$
和讲师的结果完全一致。

其实核心就是记住：做变量替换时，对原自变量的导数都要通过链式法则转换成新变量的导数，二阶导数需要多绕一次弯，别漏了乘积法则就行～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Evan