已知勒让德多项式Pₙ(1)=1，求Pₙ’(1)的有效推导方法

嘿，我之前也卡过这个问题，一开始照搬$P_n(1)=1$的证明思路确实走不通，后来换用递推关系或者生成函数就顺畅多了，给你两种直观的推导方法参考：

方法一：利用勒让德多项式的递推公式 #

先从勒让德多项式的核心递推式入手（这个是最常用的基础递推之一）：

$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x) \quad (n≥1)$

对等式两边关于$x$求导，得到：

(n+1)P'_{n+1}(x) = (2n+1)P_n(x) + (2n+1)xP'_n(x) - nP'_{n-1}(x)

现在代入$x=1$，已知$P_n(1)=1$，式子简化为：

(n+1)P'_{n+1}(1) = (2n+1) + (2n+1)P'_n(1) - nP'_{n-1}(1)

整理后得到关于导数的递推关系：

(n+1)P'_{n+1}(1) - (2n+1)P'_n(1) + nP'_{n-1}(1) = 2n+1

我们定义$a_n = P'n(1)$，再令$b_n = a_n - a{n-1}$（$n≥1$），代入后递推式会简化为：

(n+1)b_{n+1} - n b_n = 2n+1

接下来从初始值开始递推：

• 首先算$a_0 = P'_0(1)=0$（因为$P_0(x)=1$，导数为0），$a_1 = P'_1(1)=1$（因为$P_1(x)=x$，导数为1），所以$b_1 = a_1 - a_0 =1$
• 代入$n=1$：$2b_2 -1=3$ → $b_2=2$
• 代入$n=2$：$3b_3 -2*2=5$ → $b_3=3$
• 很容易看出规律：$b_n =n$

最后求和得到$a_n$：

a_n = a_0 + \sum_{k=1}^n b_k = 0 + 1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}

也就是$P'_n(1)=\frac{n(n+1)}{2}$。

方法二：利用生成函数 #

勒让德多项式的生成函数是：

$G(x,t) = \frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n$

对$x$求偏导：

\frac{\partial G}{\partial x} = \frac{t}{(1-2xt+t^2)^{3/2}} = \sum_{n=0}^\infty P'_n(x) t^n

代入$x=1$，左边化简为：

\frac{t}{(1-t)^3}

我们知道$\frac{1}{(1-t)^{3}$的幂级数展开是$\sum_{n=0}}\infty \frac{(n+2)(n+1)}{2} t^n$，所以：

\frac{t}{(1-t)^3} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+2)(n+1)}{2} t^{n+1} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n+1)}{2} t^n

对比右边的$\sum_{n=0}^\infty P'_n(1) t^n$，$n=0$时$P'_0(1)=0$，$n≥1$时系数正好是$\frac{n(n+1)}{2}$，同样得到目标结果。

两种方法都能轻松推导出结论，你可以选自己觉得顺手的思路理解～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者O.Rares