子群作用于子集：求S₈子群G的阶并证明其中心非平凡

第一步：计算G的阶|G| #

首先，集合Ω包含4个二元子集，所以Ω上的置换群Perm(Ω)就是4元对称群S₄，它的阶是4! = 24。

同态Φ: G → S₄把G中的元素g映射为它在Ω上诱导的置换σ_g，我们分两部分分析：

• 求Φ的核KerΦ：KerΦ是G中所有让Ω中每个二元子集都保持不变的元素，也就是对每个{i,j}∈Ω，g要么固定i和j，要么交换i和j。这类元素是4个独立的二元对换（或恒等置换）的乘积，比如(1 2)、(3 4)(5 6)等，因此KerΦ同构于(Z/2Z)⁴，阶为2⁴ = 16。
• 求Φ的像ImΦ：通常这类问题中，G包含所有能置换Ω中子集的S₈元素，因此ImΦ就是整个S₄（阶为24）。

根据群同态基本定理，|G| = |KerΦ| × |ImΦ|，代入数值可得：|G| = 16 × 24 = 384。

第二步：证明G的中心非平凡 #

我们构造一个非单位元元素c = (1 2)(3 4)(5 6)(7 8)，验证它属于G的中心Z(G)（即c与G中所有元素交换）：

• 与KerΦ中的元素交换：KerΦ中的元素都是各二元子集内部的置换乘积，比如h = (1 2)(5 6)。计算h c h⁻¹会发现，每个二元对换都被h共轭后保持不变，结果仍为c，因此h与c交换。
• 与置换Ω子集的元素交换：取任意置换Ω子集的元素g∈G，比如g对应S₄中的置换(1 3)(2 4)（即g把{1,2}和{3,4}互换，固定另外两个子集），则g c g⁻¹ = (g(1)g(2))(g(3)g(4))(g(5)g(6))(g(7)g(8)) = (3 4)(1 2)(5 6)(7 8) = c，说明g与c交换。

由于c≠单位元且与G中所有元素交换，因此Z(G)至少包含{c, e}，即G的中心非平凡。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Rob Allen