求证2⁶⁷阶群存在2⁵⁹阶正规子群（限用p-群相关知识）

嘿，这个问题咱们完全可以靠p-群的核心性质一步步推导出来，全程不用Sylow定理，思路很清晰：

关键前置结论：p-群的中心非平凡 #

首先回忆p-群的类方程：对于阶为$p^m$的群$G$，有
$$|G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^k [G:C_G(x_i)]$$
其中每个$x_i$属于不同的非中心共轭类，$C_G(x_i)$是$x_i$的中心化子。

因为$[G:C_G(x_i)]$是$|G|$的因子且大于1（毕竟$x_i$不在中心），所以每个$[G:C_G(x_i)]$都是$p$的正整数次幂。把类方程模$p$来看，右边除了$|Z(G)|$，其他项都是0模$p$，因此$|Z(G)| ≡ 0 \pmod{p}$——这就说明$|Z(G)| ≥ p$（这里$p=2$，所以中心至少有2个元素）。

用数学归纳法构造目标正规子群 #

我们可以先把问题一般化：对任意$n ≥ 8$，阶为$2^{n$的群$G$存在阶为$2}{n-8}$的正规子群。用归纳法来证明：

基例：$n=8$ #

此时$2^{8-8}=20=1$，平凡子群${e}$显然是$G$的正规子群，结论成立。

归纳步骤：假设对所有阶为$2^k$（$k < n$）的p-群结论成立，现在考虑阶为$2^n$的群$G$ #

• 取中心$Z(G)$中的一个2阶元素$a$，生成子群$N = \langle a \rangle$。因为$N$是中心的子群，对任意$g∈G$都有$gNg^{-1}=N$，所以**$N$是$G$的正规子群**，且$|N|=2$。
• 商群$G/N$的阶为$2^n / 2 = 2^{{n-1}$，根据归纳假设，$G/N$存在阶为$2}{(n-1)-8}=2^{n-9}$的正规子群，记为$\overline{K} = K/N$（其中$K$是$G$的子群，且$N⊆K$）。
• 根据群的正规子群对应定理：商群$G/N$的正规子群与$G$中包含$N$的正规子群一一对应，因此$K$是$G$的正规子群。
• 计算$K$的阶：$|K| = |\overline{K}| × |N| = 2^{n-9} × 2 = 2^{n-8}$。

把$n=67$代入，就得到$G$存在阶为$2^{67-8}=2{59}$的正规子群，正好符合要求！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jimmaal