判断并证明序列$X_n := \frac{n^2 + 9n}{4n^4 + 4}$的敛散性

你的推测完全正确！这个序列确实收敛于0，下面我们用ε-N定义给出最严谨的证明——这是判断序列收敛性的核心方法：

第一步：回忆收敛到0的ε-N定义 #

对于任意给定的正数 $\varepsilon > 0$，如果能找到一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|X_n - 0| < \varepsilon$ 恒成立，那么序列 ${X_n}$ 就收敛于0。

第二步：对 $|X_n|$ 进行放缩简化 #

因为 $n$ 是正整数，分子分母的所有项都是正数，所以绝对值可以直接去掉：
$$|X_n| = \frac{n^2 + 9n}{4n^4 + 4}$$

我们可以通过放缩来简化这个表达式，方便找到满足条件的 $N$：

• 分子放缩：当 $n \geq 1$ 时，$9n \leq 9n^2$，因此 $n^2 + 9n \leq n^2 + 9n^2 = 10n^2$
• 分母放缩：$4n^4 + 4 > 4n^4$（因为加了正数4，分母肯定比 $4n^4$ 大）

把放缩后的分子分母代入，得到：
$$|X_n| < \frac{10n^2}{4n4} = \frac{5}{2n^2}$$

第三步：解不等式找到N #

我们需要 $\frac{5}{2n^2} < \varepsilon$，对这个不等式变形求解：
$$n^2 > \frac{5}{2\varepsilon} \implies n > \sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}}$$

为了保证 $N$ 是正整数，我们取 $N = \left\lfloor \sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}} \right\rfloor + 1$（$\lfloor x \rfloor$ 表示对 $x$ 向下取整，加1是为了确保 $N$ 严格大于 $\sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}}$）。

第四步：验证条件成立 #

对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，当 $n > N$ 时：
$$|X_n| < \frac{5}{2n^2} < \frac{5}{2N^2} \leq \varepsilon$$
（因为 $N > \sqrt{\frac{5}{2\varepsilon}}$，所以 $N^2 > \frac{5}{2\varepsilon}$，倒推可得 $\frac{5}{2N^2} < \varepsilon$）

这完全符合ε-N定义，因此序列 ${X_n}$ 收敛于0。

补充：用极限运算法则快速验证 #

如果只是想快速验证结论，也可以用极限的四则运算法则：
将分子分母同时除以 $n^4$，得到：
$$X_n = \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{9}{n^3}}{4 + \frac{4}{n^4}}$$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^{2}$、$\frac{9}{n}3}$、$\frac{4}{n^4}$ 都趋近于0，因此极限为 $\frac{0 + 0}{4 + 0} = 0$，和我们的结论一致。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者O'Niel