导数的间断性如何刻画？其间断点集合有何特性及实例？

咱来聊聊导数的间断性该怎么刻画，还有导数的间断点集合到底藏着哪些奇特的性质。目前已经有几个经典实例能帮我们直观理解这个问题：

• 先看这个基础的分段函数：
  $$g(x)=\left{ \begin{array}{ll} x^2 \sin(\frac{1}{x}) & x \in (0,1] \ 0 & x=0 \end{array}\right.$$
  它的导数$g'$在$x=0$处是间断的——这是最入门的例子，能帮我们先建立“导数也会出现间断”的基本认知。

• 再看经典的Volterra函数：它处处可导，但导数的间断点居然覆盖了整个三分康托尔集。这个康托尔集是个典型的「测度为零的无处稠密集」，看起来“稀疏”到几乎没存在感，却能成为导数的全部间断点集合。

• 还有一类拓展的Volterra函数更有意思：它的导数间断点集合可以是测度为正的无处稠密集。这直接打破了我们的直觉——原来导数的间断点集合不一定得是测度为零的，只要满足“无处稠密”这个条件就行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者miyagi_do