关于求证任意两个对换的乘积属于Sₙ的正规子群H的疑问

别急，我们一步步拆解这个问题，把逻辑理清楚：

首先，Sₙ中指数为2的正规子群H有个关键性质：它把整个对称群分成了两个不相交的陪集——H本身，以及另一个陪集（记作$xH$，其中$x \notin H$）。也就是说，Sₙ里的任何元素，要么属于H，要么属于$xH$，没有第三种可能。

同时，指数2的子群自带一个重要的乘法规律：$xH \cdot xH = H$。简单推导一下：
因为H是正规子群，所以$Hx = xH$，那么$xH \cdot xH = x(Hx)H = x(xH)H = x^2HH$。
如果$x \notin H$，那$x^{2$必然属于H（否则$x}2 \in xH$，会推出$x = x^2 \cdot x^{-1} \in xH \cdot xH = x^2H \subseteq H$，矛盾）。而$HH=H$，所以最终两个$xH$陪集相乘的结果就是H。

已知H不含对换，那任何对换$t$都必然属于陪集$xH$（毕竟它不在H里）。现在取任意两个对换$t_1$和$t_2$：

• $t_1$可以写成$xh_1$，其中$h_1 \in H$；
• $t_2$可以写成$xh_2$，其中$h_2 \in H$；

它们的乘积展开后：
$$t_1t_2 = (xh_1)(xh_2) = x(h_1x)h_2$$
因为H是正规子群，$h_1x$可以改写为$xh_1'$（其中$h_1' \in H$），代入后：
$$t_1t_2 = x(xh_1')h_2 = x^2(h_1'h_2)$$
前面已经证明$x^2 \in H$，而$h_1'h_2$是H中两个元素的乘积，也属于H。所以$x^2(h_1'h_2)$是H中元素的乘积，自然也属于H。

其实换个角度看更清晰：对换是奇置换（它会改变置换逆序数的奇偶性），两个奇置换相乘得到的是偶置换。而Sₙ中指数为2的正规子群H，本质就是所有偶置换构成的交错群$A_n$——偶置换的集合天然包含所有两个对换的乘积（奇+奇=偶）。你提到的"H不含对换"，正好对应奇置换不在H里，而两个对换的乘积是偶置换，所以必然落在H中。

你提到"任意置换都可表示为对换的乘积"，这个点能帮你进一步打通逻辑：H作为正规子群，它包含所有偶置换，而偶置换的定义就是能表示为偶数个对换乘积的置换，两个对换的乘积是最基础的偶置换，自然属于H。而单个对换是奇置换，恰好不在H里，这也和题目给出的条件完全吻合。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gregoire Rocheteau