自旋角动量量子力学：自旋ℏ/2粒子x与z分量和的测量结果问询

嘿，这个问题问得很到位，咱们一步步拆解来搞明白：

首先，在S_z表象下，自旋1/2粒子的两个自旋分量算符的矩阵形式是这样的：

S_z = (ℏ/2) * [[1,  0],
               [0, -1]]

S_x = (ℏ/2) * [[0, 1],
               [1, 0]]

咱们先把Sₓ + S_z这个算符构造出来，直接把对应矩阵相加就行：

S_x + S_z = (ℏ/2) * [[1, 1],
                     [1, -1]]

在量子力学里，对一个可观测量进行测量，得到的结果必然是这个可观测量算符的本征值——这是核心规则。所以接下来我们要做的就是求上面这个矩阵的本征值。

设矩阵M = [[1,1],[1,-1]]，解它的特征方程det(λI - M) = 0：
展开计算的话：

(λ - 1)(λ + 1) - (1*1) = 0
λ² - 1 - 1 = 0
λ² = 2
λ = ±√2

把这个结果带回Sₓ+S_z的算符，就能得到它的本征值：(ℏ/2)*λ = ±(ℏ√2)/2，也可以写成±ℏ/√2（两种形式等价，只是分母有理化的区别）。

所以最终结论是，对这个自旋1/2粒子的Sₓ+S_z进行测量，可能得到的结果只有两个：

• +(ℏ√2)/2（或者ℏ/√2）
• -(ℏ√2)/2（或者-ℏ/√2）

内容的提问来源于stack exchange，提问作者John.D