忠实平坦性是否在同构下保持？——环上模的证明问题

嘿，咱们来搞定这两个关于忠实平坦模的问题：

答案是肯定的。在模论里，同构的模本质上是完全相同的代数对象——它们只是标签不同，所有核心的模论性质（包括平坦性、忠实平坦性）都会被同构完整保持下来。

假设$D$是环，$M$和$N$是$D$-模，$M$是忠实平坦$D$-模，且存在$D$-模同构$f: M \to N$。咱们分两步来证明$N$也是忠实平坦的：

• 第一步：证明$N$是平坦$D$-模
  平坦模的定义是：对于任意$D$-模的单同态$i: A \to B$，诱导的映射$i \otimes \text{id}_M: A \otimes_D M \to B \otimes_D M$也是单同态。
  因为$f$是同构，所以$N \cong M$作为$D$-模。张量积是一个函子，它会保持同构——也就是说，$A \otimes_D N \cong A \otimes_D M$，$B \otimes_D N \cong B \otimes_D M$，并且这些同构和映射$i \otimes \text{id}_N$是相容的。
  既然$i \otimes \text{id}_M$是单同态，那么对应的$i \otimes \text{id}_N$也必然是单同态，所以$N$是平坦的。

• 第二步：证明$N$是忠实的（满足忠实平坦的忠实性条件）
  忠实平坦模的忠实性条件是：对于任意非零$D$-模$K$，$K \otimes_D M \neq 0$。
  同样，因为$N \cong M$，所以$K \otimes_D N \cong K \otimes_D M$。由于$M$是忠实平坦的，$K \otimes_D M \neq 0$，因此$K \otimes_D N$也不可能是零模，满足忠实性要求。

把这两步结合起来，$N$既是平坦的，又是忠实的，所以$N$是忠实平坦$D$-模。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者T. Ali