关于群的有限/无限生成性及360阶阿贝尔群相关疑问

嘿，咱们来逐个拆解你的问题：

问题1：所有群必然是有限生成或无限生成的，这个观点对吗？ #

完全正确！咱们从生成集的定义出发：一个群G的生成集S是G的子集，G里每个元素都能写成S中元素（或它们的逆元）的有限乘积。对于任何群来说，只有两种互斥且覆盖所有可能的情况：

• 存在有限的子集S，使得⟨S⟩=G——这就是有限生成群；
• 不存在这样的有限子集——这就是无限生成群。

所以所有群必然属于这两类中的一类，你的观点没问题。

问题2：关于360阶阿贝尔群的疑问，以及“所有群都可由某个集合生成”的结论是否正确？ #

咱们分两部分说：

360阶阿贝尔群的有限生成性 #

绝对没问题！所有有限群都是有限生成的——你甚至可以直接把整个群当生成集（它本身就是有限的），更别说还能找到更小的生成集了。而且《抽象代数导论》里用的有限生成阿贝尔群基本定理，本来就是针对有限生成阿贝尔群的，书上讨论的360阶阿贝尔群都是这个定理的适用对象，自然都是有限生成的。

所有群都可由某个集合生成的结论 #

这个结论是正确的！正如你想到的，对任何群G，取生成集S=G本身，那么⟨S⟩=G是必然的——因为生成集的闭包就是把所有元素的有限乘积都包进来，而整个群的元素当然都满足这个条件。哪怕是无限群，比如有理数加法群(ℚ, +)，它是无限生成的，但确实存在生成集（比如所有形如1/n的元素，n为正整数，或者直接取整个ℚ）。这里要注意：生成集可以是无限的，有限生成只是生成集有限的特殊情况而已。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mikkel Rev