序列收敛性验证：$f_n(x)=x+\frac{\sin(nx)}{n}$在R上的逐点与一致收敛性

你的推导思路完全没问题，我帮你把细节补全并梳理得更清晰些：

一、逐点收敛性 #

首先纠正你笔误的小细节：极限的下标应该是$n\rightarrow\infty$而非$x\rightarrow\infty$，咱们重新严谨推导：

• 固定任意$x \in \mathbb{R}$，计算序列的极限：
  $$\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(x + \frac{\sin(nx)}n\right)$$
  由于正弦函数的有界性，对所有$n \in \mathbb{N}^*$和$x \in \mathbb{R}$，都有$|\sin(nx)| \leq 1$。因此$\frac{\sin(nx)}n$是有界量除以无穷大，其极限为0。代入后可得：
  $$\lim_{n\rightarrow\infty} f_n(x) = x + 0 = x$$
  这就证明了$f_n(x)$在实数域$\mathbb{R}$上逐点收敛于极限函数$f(x)=x$。

二、一致收敛性 #

你提到用上确界范数验证的思路非常准确，咱们把这部分推导补完整：

• 一致收敛的核心判断标准是：若$\lim_{n\rightarrow\infty} |f_n - f|{\sup} = 0$（其中$|f_n - f|{\sup} = \sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x) - f(x)|$），则函数序列一致收敛。
• 先计算差值的绝对值：
  $$|f_n(x) - f(x)| = \left|x + \frac{\sin(nx)}n - x\right| = \left|\frac{\sin(nx)}n\right|$$
• 求这个表达式在$\mathbb{R}$上的上确界：
  因为$\sin(nx)$能取到最大值1（比如取$x = \frac{\pi}{2n}$时，$\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$），所以：
  $$\sup_{x\in\mathbb{R}} \left|\frac{\sin(nx)}n\right| = \frac{1}{n}$$
• 最后看极限趋势：
  $$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n} = 0$$
  这完全满足一致收敛的判定条件，因此$f_n(x)$在$\mathbb{R}$上一致收敛于$f(x)=x$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jack