正方形背景下△ACF∽△ADG相似证明的剩余条件咨询

题目回顾 #

已知ABCD和AEFG是两个正方形，需要完成两个证明：

1. $\frac{AF}{AG} = \frac{AC}{AD}$
2. $∆ACF \sim ∆ADG$

你已经成功完成了第一部分的证明：

$i) AF^2 = AG^2 + GF^2\ \rightarrow AF^2 = 2•AG^2 \rightarrow AF = AG•\sqrt{2} \rightarrow \frac{AF}{AG} = \sqrt{2}$，同理可得$\frac{AC}{AD} = \sqrt{2}$，因此$\frac{AF}{AG} = \frac{AC}{AD}$

第二部分证明的核心补充条件 #

你已经找到了两组对应边成比例的关键依据，要证明这两个三角形相似，还需要这两组对应边的夹角相等——也就是$\boldsymbol{\angle CAF = \angle DAG}$。

具体推导这个夹角相等的逻辑很清晰：

• 正方形的对角线与任意一条边的夹角都是45°，所以$\angle CAD = \angle FAG = 45°$
• 在这两个角的基础上，同时加上$\angle DAF$（公共部分的角），就可以得到：
  $\angle CAD + \angle DAF = \angle FAG + \angle DAF$
• 化简后就是$\angle CAF = \angle DAG$

现在结合你已经证明的$\frac{AF}{AG} = \frac{AC}{AD}$，就可以用SAS（边角边）相似判定定理，直接得出$∆ACF \sim ∆ADG$的结论了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aditya Pratap Singh