两个可微函数复合的相关定积分符号判定问题

首先先明确题目给出的核心条件：

• $f$是实数域上严格递增的可微函数，因此对任意实数$x$，$f'(x) > 0$
• $g$是实数域上严格递减的可微函数，因此对任意实数$x$，$g'(x) < 0$
• 定义复合函数：$p(x)=f(g(x))$，$q(x)=g(f(x))$，需要判断当$t>0$时，定积分$\int_0^t p'(x)(q'(x)-3)dx$的符号。

第一步：求复合函数的导数（链式法则） #

根据链式法则计算两个复合函数的导数：

1. $p'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
   • 因为$f$严格递增，所以$f'(g(x)) > 0$；$g$严格递减，所以$g'(x) < 0$
   • 两者相乘得：$p'(x) < 0$（负数）
2. $q'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
   • 因为$g$严格递减，所以$g'(f(x)) < 0$；$f$严格递增，所以$f'(x) > 0$
   • 两者相乘得：$q'(x) < 0$（负数）

第二步：分析被积函数的符号 #

将被积函数展开：
$$p'(x)(q'(x)-3) = p'(x)q'(x) - 3p'(x)$$
分别看两项的符号：

• $p'(x)q'(x)$：两个负数相乘，结果为正数
• $-3p'(x)$：$p'(x)$是负数，所以$-3p'(x) = 3|p'(x)|$，结果也为正数

两个正数相加，因此被积函数在整个实数域上恒大于0。

第三步：判断定积分的符号 #

因为$t>0$，积分区间$[0,t]$是长度为正的区间，而被积函数在该区间上恒正，所以定积分的结果必然是正数。

特例验证（和你之前的测试一致） #

比如取$f(x)=x$（严格递增），$g(x)=-x$（严格递减）：

• $p'(x) = -1$，$q'(x) = -1$
• 被积函数为$(-1)(-1-3)=4>0$，积分$\int_0^t 4dx=4t>0$，结果为正。

再取$f(x)=e^{x$，$g(x)=-x}2$（$x≥0$时严格递减）：

• $p'(x)=-2x e^{-x2}<0$，$q'(x)=-2e^{2x}<0$
• 被积函数为$(-2x e^{-x2})(-2e^{2x}-3)=2x e^{-x2}(2e^{2x}+3)>0$，积分结果显然为正。

综上，不管$f$和$g$是满足条件的何种函数，该定积分的符号都是正的，对应选项a)。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user514386