求证：若|G|>n!且|G:H|<n，则群G非单群（求解题指导）

别慌，这个证明的核心就是用群作用把G映射到对称群里，然后找非平凡的正规子群——我给你一步步捋清楚：

首先明确已知条件：

• $|G| > n!$
• $H < G$（真子群），且指数 $k = |G:H| < n$

我们的目标是找到G的一个非平凡正规真子群，从而证明G不是单群。

步骤1：构造群作用 #

考虑H的所有右陪集构成的集合 $X = { Hx \mid x \in G }$，显然$|X| = k < n$。

定义G在X上的右乘作用：对任意$g \in G$，映射 $\phi_g: X \to X$ 满足：
$$\phi_g(Hx) = Hxg$$
这个作用是良定义的——如果$Hx = Hy$，那么$xy^{-1} \in H$，因此$Hxg = Hyg$，映射结果唯一。

步骤2：对应到对称群的同态 #

任何群作用都对应一个群同态到集合上的对称群。这里，这个作用诱导出同态：
$$\phi: G \to S_X$$
其中$S_X$是X上的对称群，它的阶是$k!$（因为X有k个元素）。

根据群同态基本定理，我们有：
$$G / \text{Ker}\phi \cong \text{Im}\phi \leq S_X$$
因此 $|G / \text{Ker}\phi| \leq |S_X| = k!$。

步骤3：证明Kerφ是非平凡子群 #

已知$|G| > n!$，而$k < n$，所以$k! < n! < |G|$。结合上面的结论：
$$|\text{Ker}\phi| = \frac{|G|}{|G / \text{Ker}\phi|} > \frac{|G|}{k!} > \frac{n!}{k!} \geq 1$$
这说明$\text{Ker}\phi$的阶大于1，是非平凡子群。

步骤4：证明Kerφ是正规真子群 #

• 正规性：群同态的核天然是正规子群，这是群论的基本性质，所以$\text{Ker}\phi \triangleleft G$。
• 真子群：$\text{Ker}\phi$是所有满足$\phi_g$是恒等映射的元素，即对任意$Hx \in X$，$Hxg = Hx$。取$x=e$（单位元），则$Hg = H$，即$g \in H$。因此$\text{Ker}\phi \subseteq H$，而$H$是G的真子群，所以$\text{Ker}\phi < G$。

结论 #

G存在一个非平凡的正规真子群$\text{Ker}\phi$，因此G不可能是单群。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Atvin