实分析泰勒公式证明验证：证明f(0)非局部极小值点

给定函数 $f: (-1,1) \longrightarrow \mathbb{R}$，其三阶导数$f'$、$f''$、$f'''$在$(-1,1)$上存在且连续。已知$f'(0) = f''(0) = 0$且$f'''(0) \neq 0$，我们需要证明$f(0)$不是函数的局部极小值点。

完整证明过程（基于泰勒公式） #

我们可以利用带佩亚诺余项的泰勒公式展开函数在$0$点附近的取值：
$$f(h) - f(0) = \frac{f'''(0)}{3!}h^3 + o(h^3)$$
整理后可写成：
$$f(h) - f(0) = \left[\frac{f'''(0)}{6} + \rho(h)\right]h^{3}$$
其中$\rho(h) = \frac{o(h^3)}{h3}$，根据佩亚诺余项的定义，显然$\lim_{h \to 0} \rho(h) = 0$。

接下来分析符号逻辑：

• 因为$f'''(0) \neq 0$，先假设$f'''(0) > 0$。由于$\rho(h)$在$h$趋近于0时趋近于0，所以存在足够小的邻域$U(0, \delta)$（$\delta > 0$），当$h \in U(0, \delta)$且$h \neq 0$时，$\frac{f'''(0)}{6} + \rho(h) > 0$：
  • 当$h > 0$时，$h^3 > 0$，此时$f(h) - f(0) > 0$，即$f(h) > f(0)$；
  • 当$h < 0$时，$h^3 < 0$，此时$f(h) - f(0) < 0$，即$f(h) < f(0)$。
• 若$f'''(0) < 0$，同理可得：在0的充分小邻域内，当$h > 0$时$f(h) < f(0)$，当$h < 0$时$f(h) > f(0)$。

这说明在0的任意小邻域内，既有比$f(0)$大的函数值，也有比$f(0)$小的函数值，因此$f(0)$不可能是局部极小值点。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lucas