判定：“1,(x-5),…,(x-5)^m是ℙₘ(ℝ)的基”的证明是否正确

首先明确定理内容：

设$m$为正整数，向量组${1,(x-5),(x-5)^{2,\dots,(x-5)}m}$是$\mathbb{P}_m(\mathbb{R})$（实数域上次数不超过$m$的多项式构成的线性空间）的一组基。

现有证明片段的合理性分析 #

你给出的证明思路完全正确，但内容不完整：

• 第一步逻辑没问题：这个向量组的元素个数是$m+1$，而$\mathbb{P}_m(\mathbb{R})$的维数恰好是$m+1$（标准基是${1,x,x^2,\dots,xm}$）。根据线性空间的基判定规则：如果$n$维线性空间中的一组向量包含$n$个元素，只要这组向量线性无关，它就构成空间的一组基，所以确实只需要证明这组向量线性无关就行。
• 第二步的假设也正确：假设存在实数$c_0,c_1,\dots,c_m$，使得
  $$c_0 + c_1(x-5) + c_2(x-5)^2 + \dots + c_m(x-5)^m = 0$$
  这里的$0$是$\mathbb{P}_m(\mathbb{R})$中的零多项式（即对任意实数$x$，该多项式的值都为0）。

不过你写到“令$p\in\dots$”就中断了，完整的线性无关性证明可以这样补全：
令$t = x - 5$，那么原式就转化为关于$t$的多项式：$c_0 + c_1t + c_2t^2 + \dots + c_mt^m = 0$。我们知道，一个多项式恒为零当且仅当它的所有系数都为零，所以必然有$c_0 = c_1 = \dots = c_m = 0$，这就说明原向量组线性无关。

综上，你给出的证明方向是对的，但缺少了关键的收尾步骤，所以目前是不完整的，但核心思路没有错误。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者atifcppprogrammer