抽象代数作业证明题：G去一元a后H为子群，证|G|=2

刚好我之前也碰到过类似的问题，不用拉格朗日定理的话，咱们从群的核心基本性质（单位元、封闭性、逆元）一步步推导就行：

第一步：确定单位元的位置 #

子群必须包含群的单位元$e$，所以先看$a$是不是$e$：

• 如果$a=e$，那$H=G\setminus{e}$，但子群必须有单位元，$H$里根本没有$e$，显然不可能是子群。所以**$a≠e$，且$e∈H$**。

第二步：分析H中元素与a的乘法矛盾 #

任取$h∈H$，考虑$h*a$的结果：

• 子群$H$对乘法封闭，如果$ha∈H$，那因为$H$是子群，$h$的逆元$h^{{-1}$也在$H$里，这样$h}{-1}(ha)=a∈H$——这直接和$H=G\setminus{a}$矛盾，所以$ha$绝对不能在H里。
• 而$G$里只有$a$不在$H$，那$ha$只能等于$a$？但$ha=a$的话，两边左乘$a^{-1}$会得到$h=e$，这说明只有$h=e$时这个等式才成立。

第三步：推导H的元素构成 #

假设$H$里有除了$e$之外的元素$h≠e$，那根据上面的结论，$ha$既不能在$H$里，又不能等于$a$（否则$h=e$），这就陷入了矛盾——$G$里只有$H$和$a$两个部分，$ha$根本没地方放。
所以$H$里只能有一个元素，就是单位元$e$，也就是$H={e}$。

第四步：得出G的阶 #

既然$H={e}$，那$G=H∪{a}={e,a}$，显然$|G|=2$。最后验证一下：此时$a^{2=e$（如果$a}2=a$，那$a=e$，矛盾），$G$是一个合法的2阶群，$H={e}$确实是它的子群，完全符合条件。

另外提一句：如果$G$是无限群，那$H=G\setminus{a}$里必然有无限多元素，随便取一个$h≠e$都会碰到上面的矛盾，所以无限群里根本不可能存在这样的子群$H$，只有阶为2的有限群满足要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3000482