基于实数公理证明0≤x≤1⇒0≤x²≤x≤1的技术问询

嘿，我来帮你一步步拆解这个证明！你已经搞定了∀x∈ℝ: x²≥0，这正好是我们的基础，接下来咱们用实数的序公理和乘法公理一步步推：

已知前提 #

题目给出0 ≤ x ≤ 1，根据实数的序关系定义，这等价于两个条件：

• x ≥ 0
• x ≤ 1

1. 证明 0 ≤ x² #

这一步你已经完成啦！对于任意实数x，平方的非负性是实数公理可推导的结论（比如x² = x*x，无论x是正、负还是零，平方结果都非负），所以当0≤x≤1时，自然满足0 ≤ x²。

2. 证明 x² ≤ x #

这里要用到实数序公理中的乘法单调性：如果a ≤ b且c ≥ 0，那么a*c ≤ b*c。
咱们已知x ≤ 1，同时x ≥ 0（前提条件），给不等式x ≤ 1两边同时乘以非负数x，不等号方向不变：
x * x ≤ 1 * x
也就是x² ≤ x。

3. 证明 x ≤ 1 #

这就是题目给出的前提条件0≤x≤1的一部分，直接沿用即可。

把这三步连起来，就得到了完整的推导链条：
0 ≤ x² ≤ x ≤ 1

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Anna Saabel